Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( 3;1;4...

Dễ dàng tính được và cân tại .
Do là trung điểm nên .
Trong , ta có: .
.
Trong , vẽ tại .
Do tứ giác nội tiếp (góc nội tiếp cùng chắn cung ).
Mặt khác nối tiếp (góc nội tiếp cùng chắn cung ).
Suy ra .
Lại có, vuông tại
Ta có: .
Mà .
Tóm lại (do ) và
Suy ra tứ diện có đôi một vuông góc
Trong , vẽ tại là trực tâm .
Suy ra
Suy ra có tâm cố định và .
. (1)
Mặt khác (c-g-c) vì $\left\{ \begin{aligned}
& AH:chung \\
& IH=EH \\
& \widehat{AHI}=\widehat{EHA}={{90}^{0}} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow AE=AI=\sqrt{17}E\in \left( S' \right)A\left( 3;1;4 \right),R'=\sqrt{17}\Rightarrow E\in \left( S' \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x-2y-8z+9=0\left( 1 \right)\left( 2 \right)E\in \left( P \right):2y+8z-\dfrac{34}{9}=0{{r}_{\left( C \right)}}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I;\left( P \right) \right)}=\sqrt{\dfrac{34}{9}-\dfrac{17}{81}}=\dfrac{17}{9}$.