Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC biết $A\left( 2;-1;3...

Phương pháp:
- Sử dụng định lí đường phân giác $\dfrac{IA}{IC}=\dfrac{BA}{BC}$ xác định tọa độ điểm I .
- Tính $R=IB$
- Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ bán kính R là ${{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}+\left( z-{{z}_{0}} \right)~={{R}^{2}}$
Cách giải:
Vì I là chân đường phân giác trong của góc B nên $\dfrac{IA}{IC}=\dfrac{BA}{BC}$ (Định lí đường phân giác).
Ta có:
$BA=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}=3$
$BC=\sqrt{{{\left( -14 \right)}^{2}}+{{5}^{2}}+{{2}^{2}}}=15$
$\Rightarrow \dfrac{IA}{IC}=\dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow IC=5IA$
Mà $\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IC}~$ là hai vectơ ngược hướng nên $\overrightarrow{IC}=5\overrightarrow{IA}$
Gọi $I\left( a;b;c \right)$ ta có: $\overrightarrow{IC}=\left( -10-a;5-b;3- \right)~$ và $\overrightarrow{IA}=\left( 2-a;-1-b;3-c \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -10-a=-10+5a \\
& 5-b=5+5b \\
& 3-c=-15+5c \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=0 \\
& c=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( 0;0;3 \right)$
Ta có $IB=\sqrt{{{4}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( 2 \right)}^{2}}}=2\sqrt{5}=R$.
Vậy phương trình mặt cầu I , bán kính IB là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=20.~$