Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2\left( m-2 \right)y-2\left( m+3 \right)z+3{{m}^{2}}+7=0$ với m là tham số thực. Có bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu?
A. $4$.
B. $3$.
C. $5$.
D. $2$.
A. $4$.
B. $3$.
C. $5$.
D. $2$.
Giả sử $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2\left( m-2 \right)y-2\left( m+3 \right)z+3{{m}^{2}}+7=0$ là phương trình mặt cầu.
Khi đó $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 0;2-m;m+3 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{\left( 2-m \right)}^{2}}+{{\left( m+3 \right)}^{2}}-3{{m}^{2}}-7}$ với điều kiện ${{\left( 2-m \right)}^{2}}+{{\left( m+3 \right)}^{2}}-3{{m}^{2}}-7>0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+2m+6>0\Leftrightarrow 1-\sqrt{7}<m<1+\sqrt{7}.$
Do $m\in \mathbb{N}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2;3 \right\}.$
Vậy có 4 giá trị $m$ cần tìm.
Khi đó $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 0;2-m;m+3 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{\left( 2-m \right)}^{2}}+{{\left( m+3 \right)}^{2}}-3{{m}^{2}}-7}$ với điều kiện ${{\left( 2-m \right)}^{2}}+{{\left( m+3 \right)}^{2}}-3{{m}^{2}}-7>0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+2m+6>0\Leftrightarrow 1-\sqrt{7}<m<1+\sqrt{7}.$
Do $m\in \mathbb{N}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2;3 \right\}.$
Vậy có 4 giá trị $m$ cần tìm.
Đáp án A.