Google
Câu hỏi: Trong không gian ${Oxyz}$ cho mặt phẳng ${(P)\colon x+y+z+1= 0}$, mặt cầu ${(S)\colon (x-1)^2+y^2+z^2= R^2}$, hai đường thẳng ${d_1\colon\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z+4}{-1}}$ và ${d_2\colon\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+3}{1}}$. Gọi ${d}$ là đường thẳng vuông góc với ${(P)}$ đồng thời cắt cả ${d_1}$, ${d_2}$. Biết rằng có số thực ${R}$ sao cho chỉ có một điểm ${M(m;n;p)}$ thuộc ${d}$ sao cho từ ${M}$ có duy nhất một mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ${(S)}$. Khi đó ${m^2+n^2+p^2-R^2}$ bằng
A. $2$.
B. $1$.
C. $-1$.
D. $-3$.
A. $2$.
B. $1$.
C. $-1$.
D. $-3$.
Gọi $A\left( a;2+3a;-4-a \right)$, $B\left( 2b;1+b;-3+b \right)$ lần lượt là giao điểm của $d$ với ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -a+2b;-3a+b-1;a+b+1 \right)$. Mặt phẳng $(P)$ có véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;1;1)$ nên đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ khi $\dfrac{-a+2b}{1}=\dfrac{-3a+b-1}{1}=\dfrac{a+b+1}{1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=-\dfrac{1}{2} \\
b=0 \\
\end{array} \right. $ từ đó ta tính được $ \overrightarrow{AB}=\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right) $ nên $ (d):\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+3}{1}$.
Do chỉ có một điểm $M(m;n;p)$ thuộc $d$ sao cho từ $M$ có duy nhất một mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ nên đường thẳng $d$ phải tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại điểm $M(m;n;p)$.
Giả sử $M(t;1+t;-3+t)\in d$, đường thẳng $d$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại điểm $M(t;1+t;-3+t)$ khi và chỉ khi phương trình ${{(t-1)}^{2}}+{{(1+t)}^{2}}+{{(-3+t)}^{2}}={{R}^{2}}$ có nghiệm kép, hay $3{{t}^{2}}-6t+11-{{R}^{2}}=0$ có nghiệm kép, tức $\Delta \prime =9-3\left( 11-{{R}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{R}^{2}}=8$ khi đó $t=1$ nên có duy nhất một điểm $M(1;2;-2)$ thỏa mãn yêu cầu đầu bài. Khi đó $m=1,n=2,p=-2$ nên ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}-{{R}^{2}}=1$.
a=-\dfrac{1}{2} \\
b=0 \\
\end{array} \right. $ từ đó ta tính được $ \overrightarrow{AB}=\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right) $ nên $ (d):\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+3}{1}$.
Do chỉ có một điểm $M(m;n;p)$ thuộc $d$ sao cho từ $M$ có duy nhất một mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ nên đường thẳng $d$ phải tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại điểm $M(m;n;p)$.
Giả sử $M(t;1+t;-3+t)\in d$, đường thẳng $d$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại điểm $M(t;1+t;-3+t)$ khi và chỉ khi phương trình ${{(t-1)}^{2}}+{{(1+t)}^{2}}+{{(-3+t)}^{2}}={{R}^{2}}$ có nghiệm kép, hay $3{{t}^{2}}-6t+11-{{R}^{2}}=0$ có nghiệm kép, tức $\Delta \prime =9-3\left( 11-{{R}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{R}^{2}}=8$ khi đó $t=1$ nên có duy nhất một điểm $M(1;2;-2)$ thỏa mãn yêu cầu đầu bài. Khi đó $m=1,n=2,p=-2$ nên ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}-{{R}^{2}}=1$.
Đáp án B.