Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z+2=0,$ đường thẳng $\left( d \right):\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{2-z}{1}$ và hai điểm $B\left( \dfrac{1}{2};-1;\dfrac{3}{2} \right),C\left( 1;-1;1 \right).$ Gọi $A$ là giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right),S$ là điểm di động trên $d\left( S\ne A \right).$ Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên các đường thẳng $SB,SC,\left( \Delta \right)$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( AHK \right)$ và $\left( P \right),M\in \Delta .$ Giá trị nhỏ nhất của $MB+MC$ là:
A. $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{6}+2\sqrt{2}}{2}$
C. $\dfrac{7}{2}$
D. $\dfrac{\sqrt{7}}{2}$
A. $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{6}+2\sqrt{2}}{2}$
C. $\dfrac{7}{2}$
D. $\dfrac{\sqrt{7}}{2}$
Cách giải:
Sưu tầm Toanmath
Xét hệ $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{2-z}{1} \\
& x+y-z+2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=-1 \\
& z=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A\left( 1;-1;2 \right).$
Mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z+2=0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;1;-1 \right),$ đường thẳng $\left( d \right):\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{2-z}{1}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;1;-1 \right)=\overrightarrow{{{n}_{P}}}.$
$\Rightarrow \left( d \right)\bot \left( P \right)\Rightarrow SA\bot \left( P \right)\Rightarrow SA\bot \left( ABC \right).$
Ta có: $AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2},AC=\sqrt{2}$ và $\dfrac{HS}{HB}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{A{{B}^{2}}}=2S{{A}^{2}},\dfrac{KS}{KC}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{2}.$
Gọi $D=HK\cap BC.$ Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác $SBC,$ cát tuyến $KHD$ ta có:
$\dfrac{HS}{HB}.\dfrac{KC}{KS}.\dfrac{DB}{DC}=1\Leftrightarrow \dfrac{DB}{DC}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow 4\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DC}.$
$\Rightarrow D\left( \dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\left( -\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{1}{3}\left( 2;-1;1 \right).$
$\Rightarrow $ Giao tuyến của $\left( AHK \right)$ và $\left( P \right)$ là đường thẳng $AD$ có phương trình tham số: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-1-t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right..$
Vì $B,C$ nằm cùng phía so với $AD$ nên gọi $C'$ là điểm đối xứng với $C$ qua $AD$ thì $C'\left( 1;0;3 \right).$
Ta có $MB+MC=MB+MC'\ge BC'=\dfrac{\sqrt{14}}{2}.$
Vậy $\min \left( MB+MC \right)=BC'=\dfrac{\sqrt{14}}{2}.$
Sưu tầm Toanmath
Xét hệ $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{2-z}{1} \\
& x+y-z+2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=-1 \\
& z=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A\left( 1;-1;2 \right).$
Mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z+2=0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;1;-1 \right),$ đường thẳng $\left( d \right):\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{2-z}{1}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;1;-1 \right)=\overrightarrow{{{n}_{P}}}.$
$\Rightarrow \left( d \right)\bot \left( P \right)\Rightarrow SA\bot \left( P \right)\Rightarrow SA\bot \left( ABC \right).$
Ta có: $AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2},AC=\sqrt{2}$ và $\dfrac{HS}{HB}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{A{{B}^{2}}}=2S{{A}^{2}},\dfrac{KS}{KC}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{2}.$
Gọi $D=HK\cap BC.$ Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác $SBC,$ cát tuyến $KHD$ ta có:
$\dfrac{HS}{HB}.\dfrac{KC}{KS}.\dfrac{DB}{DC}=1\Leftrightarrow \dfrac{DB}{DC}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow 4\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DC}.$
$\Rightarrow D\left( \dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\left( -\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{1}{3}\left( 2;-1;1 \right).$
$\Rightarrow $ Giao tuyến của $\left( AHK \right)$ và $\left( P \right)$ là đường thẳng $AD$ có phương trình tham số: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-1-t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right..$
Vì $B,C$ nằm cùng phía so với $AD$ nên gọi $C'$ là điểm đối xứng với $C$ qua $AD$ thì $C'\left( 1;0;3 \right).$
Ta có $MB+MC=MB+MC'\ge BC'=\dfrac{\sqrt{14}}{2}.$
Vậy $\min \left( MB+MC \right)=BC'=\dfrac{\sqrt{14}}{2}.$
Đáp án A.