Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z-3=0$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{-2},{{d}_{2}}:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{-1}.$ Đường thẳng vuông góc với $\left( P \right),$ đồng thời cắt cả ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ có phương trình là
A. $\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+2}{-1}.$
B. $\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+1}{-2}.$
C. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z+1}{-1}.$
D. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}.$
A. $\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+2}{-1}.$
B. $\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+1}{-2}.$
C. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z+1}{-1}.$
D. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}.$
Cách giải:
Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm
Gọi $A=\Delta \cap {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( 1+2t;t;-1-2t \right)$
Gọi $B=\Delta \cap {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 2+t';2t';-1-t' \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( t'-2t+1;2t'-t;-t'+2t \right).$
Vì $\Delta \bot \left( P \right)$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 2;2;-1 \right)$ là 2 vectơ cùng phương.
$\Rightarrow \dfrac{t'-2t+1}{2}=\dfrac{2t'-t}{2}=\dfrac{-t'+2t}{-1}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t'-2t+1=2t'-t \\
& t'-2t+1=2t'-4t \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t'+t=1 \\
& t'-2t=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t'=1 \\
& t=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow A\left( 1;0;-1 \right),B\left( 3;2;-2 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 2;2;-1 \right).$
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta $ là: $\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+2}{-1}.$
Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm
Gọi $A=\Delta \cap {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( 1+2t;t;-1-2t \right)$
Gọi $B=\Delta \cap {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 2+t';2t';-1-t' \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( t'-2t+1;2t'-t;-t'+2t \right).$
Vì $\Delta \bot \left( P \right)$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 2;2;-1 \right)$ là 2 vectơ cùng phương.
$\Rightarrow \dfrac{t'-2t+1}{2}=\dfrac{2t'-t}{2}=\dfrac{-t'+2t}{-1}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t'-2t+1=2t'-t \\
& t'-2t+1=2t'-4t \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t'+t=1 \\
& t'-2t=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t'=1 \\
& t=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow A\left( 1;0;-1 \right),B\left( 3;2;-2 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 2;2;-1 \right).$
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta $ là: $\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+2}{-1}.$
Đáp án A.