Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+7=0$ qua điểm $A\left( 2;0;1 \right)$, vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right):3x-y+z+1=0$ và tạo với mặt phẳng $\left( R \right):x-y+2z-1=0$ một góc ${{60}^{\text{o}}}$. Tổng $a+b+c$ bằng
A. $10$.
B. $0$.
C. $-14$.
D. $12$.
A. $10$.
B. $0$.
C. $-14$.
D. $12$.
Do mặt phẳng $\left( P \right)$ qua điểm $A\left( 2;0;1 \right)$ nên ta có: $2a+c=-7\Leftrightarrow c=-2a-7 \left( 1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right), \left( Q \right), \left( R \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là:
$\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( a;b;c \right), \overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 3;-1;1 \right), \overrightarrow{{{n}_{3}}}=\left( 1;-1;2 \right)$.
Do mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right)$ nên ta có:
$\overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}}=0\Leftrightarrow 3a-b+c=0\Leftrightarrow b=3a+c\Leftrightarrow b=a-7 \left( 2 \right)$.
Do mặt phẳng $\left( P \right)$ tạo với mặt phẳng $\left( R \right)$ một góc ${{60}^{\text{o}}}$ nên ta có:
$\cos {{60}^{\text{o}}}=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{3}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{3}}} \right|}\Leftrightarrow \dfrac{\left| a-b+2c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{6}}=\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 2\left| a-b+2c \right|=\sqrt{6}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \left( 3 \right)$.
Thay $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$ vào $\left( 3 \right)$ ta có:
$\begin{aligned}
& 2\left| a-b+2c \right|=\sqrt{6}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
& \Leftrightarrow 2\left| a-a+7-4a-14 \right|=\sqrt{6}\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a-7 \right)}^{2}}+{{\left( -2a-7 \right)}^{2}}} \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow 2\left| -4a-7 \right|=\sqrt{6}\sqrt{6{{a}^{2}}+14a+98}$
$\Leftrightarrow 28{{a}^{2}}+140a-392=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=2 \\
& a=-7 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $a=2\Rightarrow b=-5, c=-11\Rightarrow a+b+c=-14$.
Với $a=-7\Rightarrow b=-14, c=7\Rightarrow a+b+c=-14$.
Vậy $a+b+c=-14$.
Mặt phẳng $\left( P \right), \left( Q \right), \left( R \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là:
$\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( a;b;c \right), \overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 3;-1;1 \right), \overrightarrow{{{n}_{3}}}=\left( 1;-1;2 \right)$.
Do mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right)$ nên ta có:
$\overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}}=0\Leftrightarrow 3a-b+c=0\Leftrightarrow b=3a+c\Leftrightarrow b=a-7 \left( 2 \right)$.
Do mặt phẳng $\left( P \right)$ tạo với mặt phẳng $\left( R \right)$ một góc ${{60}^{\text{o}}}$ nên ta có:
$\cos {{60}^{\text{o}}}=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{3}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{3}}} \right|}\Leftrightarrow \dfrac{\left| a-b+2c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{6}}=\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 2\left| a-b+2c \right|=\sqrt{6}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \left( 3 \right)$.
Thay $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$ vào $\left( 3 \right)$ ta có:
$\begin{aligned}
& 2\left| a-b+2c \right|=\sqrt{6}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
& \Leftrightarrow 2\left| a-a+7-4a-14 \right|=\sqrt{6}\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a-7 \right)}^{2}}+{{\left( -2a-7 \right)}^{2}}} \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow 2\left| -4a-7 \right|=\sqrt{6}\sqrt{6{{a}^{2}}+14a+98}$
$\Leftrightarrow 28{{a}^{2}}+140a-392=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=2 \\
& a=-7 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $a=2\Rightarrow b=-5, c=-11\Rightarrow a+b+c=-14$.
Với $a=-7\Rightarrow b=-14, c=7\Rightarrow a+b+c=-14$.
Vậy $a+b+c=-14$.
Đáp án C.