Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z+16=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=21$. Một khối hộp chữ nhật $\left( H \right)$ có bốn đỉnh nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ và bốn đỉnh còn lại nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$. Khi $\left( H \right)$ có thể tích lớn nhất, thì mặt phẳng chứa bốn đỉnh của $\left( H \right)$ nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$ là $\left( Q \right):2x+by+cz+d=0$. Giá trị $b+c+d$ bằng:
A. $-15$.
B. $-13$.
C. $-14$.
D. $-7$.
Ta có mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;-1;3 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{21}$ và $d\left( I,\left( P \right) \right)=9$.
Do $\left( H \right)$ là hình hộp chữ nhật nên $\left( P \right)\text{//}\left( Q \right)\Rightarrow \left( Q \right):2x-y+2z+d=0$
Khi đó $d\left( I,\left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| 11+d \right|}{3}={{d}_{0}}$
Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp bốn điểm của khối hộp nằm trên mặt cầu là $\sqrt{21-d_{0}^{2}}$
Gọi $m,n$ là hai cạnh của hình chữ nhật, khi đó diện tích hình chữ nhật là $mn$
Áp dụng bất đẳng thức $AmGm$ : $mn\le \dfrac{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}{2}=\dfrac{4\left( 21-d_{0}^{2} \right)}{2}=42-2d_{0}^{2}$
Ta có thể tích của khối hộp $\left( H \right)$ là $V=\left( 9+{{d}_{0}} \right)\left( 42-2d_{0}^{2} \right)\le 400$
Đẳng thức xảy ra khi ${{d}_{0}}=1\Leftrightarrow \dfrac{\left| 11+d \right|}{3}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
d=-14 & \left( n \right) \\
d=-8 & \left( l \right) \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow b+c+d=-13$.
A. $-15$.
B. $-13$.
C. $-14$.
D. $-7$.
Do $\left( H \right)$ là hình hộp chữ nhật nên $\left( P \right)\text{//}\left( Q \right)\Rightarrow \left( Q \right):2x-y+2z+d=0$
Khi đó $d\left( I,\left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| 11+d \right|}{3}={{d}_{0}}$
Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp bốn điểm của khối hộp nằm trên mặt cầu là $\sqrt{21-d_{0}^{2}}$
Gọi $m,n$ là hai cạnh của hình chữ nhật, khi đó diện tích hình chữ nhật là $mn$
Áp dụng bất đẳng thức $AmGm$ : $mn\le \dfrac{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}{2}=\dfrac{4\left( 21-d_{0}^{2} \right)}{2}=42-2d_{0}^{2}$
Ta có thể tích của khối hộp $\left( H \right)$ là $V=\left( 9+{{d}_{0}} \right)\left( 42-2d_{0}^{2} \right)\le 400$
Đẳng thức xảy ra khi ${{d}_{0}}=1\Leftrightarrow \dfrac{\left| 11+d \right|}{3}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
d=-14 & \left( n \right) \\
d=-8 & \left( l \right) \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow b+c+d=-13$.
Đáp án B.