Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y+z+5=0$ và mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;-2 \right)$. Biết $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ có chu vi $8\pi $. Tìm bán kính của mặt cầu $\left( T \right)$ chứa đường tròn $\left( C \right)$ và $\left( T \right)$ đi qua $M\left( 1;1;1 \right)$.
A. $R=5$.
B. $R=\dfrac{\sqrt{265}}{4}$.
C. $R=\dfrac{5\sqrt{5}}{4}$.
D. $R=4$.
Bán kính đường tròn $\left( C \right)$ là $r=\dfrac{8\pi }{2\pi }=4$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên $\left( P \right)$.
Đường thẳng đi qua $I$, vuông góc với $\left( P \right)$ có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2+2t \\
& z=-2+t \\
\end{aligned} \right.$,
Khi đó tọa độ điểm $H=\left( 1+2t;2+2t;-2+t \right)$.
Do $H\in \left( P \right)$ nên $2\left( 1+2t \right)+2\left( 2+2t \right)+\left( -2+t \right)+5=0\Rightarrow t=-1$ $\Rightarrow H\left( -1;0;-3 \right)$.
Đường thẳng đi qua $H$, vuông góc với $\left( P \right)$ chứa tâm J của mặt cầu $\left( T \right)$ ; có phương trình là:
$\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+2m \\
& y=2m \\
& z=-3+m \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( m\in \mathbb{R} \right) $ ; Tọa độ tâm $ J\left( -1+2m;2m;-3+m \right)$.
Ta có $J{{H}^{2}}=9{{m}^{2}}$ ; $J{{M}^{2}}={{\left( 2m-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2m-1 \right)}^{2}}+{{\left( m-4 \right)}^{2}}={{R}^{2}}$.
Vì $J{{H}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}\Rightarrow 9{{m}^{2}}+16=J{{M}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{\left( 2m-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2m-1 \right)}^{2}}+{{\left( m-4 \right)}^{2}}=16+9{{m}^{2}}$
$\Rightarrow m=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{R}^{2}}=9.{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{2}}+16\Rightarrow R=\dfrac{\sqrt{265}}{4}$.
A. $R=5$.
B. $R=\dfrac{\sqrt{265}}{4}$.
C. $R=\dfrac{5\sqrt{5}}{4}$.
D. $R=4$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên $\left( P \right)$.
Đường thẳng đi qua $I$, vuông góc với $\left( P \right)$ có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2+2t \\
& z=-2+t \\
\end{aligned} \right.$,
Khi đó tọa độ điểm $H=\left( 1+2t;2+2t;-2+t \right)$.
Do $H\in \left( P \right)$ nên $2\left( 1+2t \right)+2\left( 2+2t \right)+\left( -2+t \right)+5=0\Rightarrow t=-1$ $\Rightarrow H\left( -1;0;-3 \right)$.
Đường thẳng đi qua $H$, vuông góc với $\left( P \right)$ chứa tâm J của mặt cầu $\left( T \right)$ ; có phương trình là:
$\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+2m \\
& y=2m \\
& z=-3+m \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( m\in \mathbb{R} \right) $ ; Tọa độ tâm $ J\left( -1+2m;2m;-3+m \right)$.
Ta có $J{{H}^{2}}=9{{m}^{2}}$ ; $J{{M}^{2}}={{\left( 2m-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2m-1 \right)}^{2}}+{{\left( m-4 \right)}^{2}}={{R}^{2}}$.
Vì $J{{H}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}\Rightarrow 9{{m}^{2}}+16=J{{M}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{\left( 2m-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2m-1 \right)}^{2}}+{{\left( m-4 \right)}^{2}}=16+9{{m}^{2}}$
$\Rightarrow m=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{R}^{2}}=9.{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{2}}+16\Rightarrow R=\dfrac{\sqrt{265}}{4}$.
Đáp án B.