Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right): mx-3y-\left( 2m-3 \right)z-9=0$ ( $m$ là tham số thực) và mặt cầu $\left( S \right): {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=16$. Biết rằng $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất, khi đó khoảng cách từ điểm $A\left( -1; 2; 3 \right)$ đến $\left( P \right)$ bằng
A. $\sqrt{11}.$
B. $\dfrac{13\sqrt{11}}{11}.$
C. $\dfrac{\sqrt{11}}{11}.$
D. $\dfrac{2\sqrt{11}}{11}.$
A. $\sqrt{11}.$
B. $\dfrac{13\sqrt{11}}{11}.$
C. $\dfrac{\sqrt{11}}{11}.$
D. $\dfrac{2\sqrt{11}}{11}.$
Khi $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì khoảng cách từ tâm $I$ của mặt cầu đến mặt phẳng $\left( P \right)$ là lớn nhất.
Ta có: $d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| m-12 \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{\left( 2m-3 \right)}^{2}}+9}}=\dfrac{\left| m-12 \right|}{\sqrt{5{{m}^{2}}-12m+18}}$
Xét hàm số: $f\left( x \right)=\dfrac{{{\left( x-12 \right)}^{2}}}{5{{x}^{2}}-12x+18}$. Khảo sát hàm số tìm được: $\max f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=11$
Nên: $d{{\left( I;\left( P \right) \right)}_{\max }}=\sqrt{11}$ khi $m=1$. Khi đó $\left( P \right):x-3y+z-9=0$
Vậy $d\left( A;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| -1-6+3-9 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{13\sqrt{11}}{11}$
Ta có: $d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| m-12 \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{\left( 2m-3 \right)}^{2}}+9}}=\dfrac{\left| m-12 \right|}{\sqrt{5{{m}^{2}}-12m+18}}$
Xét hàm số: $f\left( x \right)=\dfrac{{{\left( x-12 \right)}^{2}}}{5{{x}^{2}}-12x+18}$. Khảo sát hàm số tìm được: $\max f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=11$
Nên: $d{{\left( I;\left( P \right) \right)}_{\max }}=\sqrt{11}$ khi $m=1$. Khi đó $\left( P \right):x-3y+z-9=0$
Vậy $d\left( A;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| -1-6+3-9 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{13\sqrt{11}}{11}$
Đáp án B.