Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y+z-5=0$ và ba điểm $A\left(1; 2; 0 \right); B\left(5; 6; 5 \right); C\left( 1;-2;-2...

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 2\left( \overrightarrow{IN}+\overrightarrow{IB} \right)=\overrightarrow{0}$ với $N$ là trung điểm của $AC.$ Ta có $N\left( 1;0;-1 \right)\Rightarrow I\left( 3;3;2 \right).$
Ta có:
$M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}=4M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}$
Biểu thức $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của $I$ trên $\left( P \right).$ Đường thẳng $d$ đi qua $I$ vuông góc với $\left( P \right)$ có phương trình:
$d:\left\{ \begin{aligned}
& x=3+2t \\
& y=3+2t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right.. $ Thay vào phương trình mặt phẳng $ \left( P \right)$ ta được:
$2\left( 3+2t \right)+2\left( 3+2t \right)+\left( 2+t \right)-5=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow M\left( 1;1;1 \right).$
$\Rightarrow 2a+3b+c=2.1+3.1+1=6.$