Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với $\Delta :\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z}{3}$ và $\left( \alpha...

Phương pháp:
- Vì $\left( \alpha \right)\bot \Delta \Rightarrow \left( \alpha \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( A;B;C \right).$ Suy ra dạng phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax+By+Cz+d=0.$
- Tìm giao điểm của $\Delta $ với trục $Ox,$ trục $Oy$ và tia $Oz.$
- Tính độ dài $OM,ON,OP$ theo $d.$
- Tính ${{V}_{OMNP}}=\dfrac{1}{6}OM.ON.OP,$ giải phương trình tìm $d.$ e
- Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và tìm điểm thuộc $\left( \alpha \right)$.
Cách giải:
Đường thẳng $\Delta :\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z}{3}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;-2;3 \right).$
Vì $\left( \alpha \right)\bot \Delta \Rightarrow \left( \alpha \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;-2;3 \right)$, khi đó phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng:
$\left( \alpha \right):x-2y+3z+d=0$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& M=\Delta \cap Ox \\
& N=\Delta \cap Oy \\
& P=\Delta \cap tiaOz \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M\left( -d;0;0 \right) \\
& N\left( 0;\dfrac{d}{2};0 \right) \\
& P\left( 0;0;-\dfrac{d}{3} \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& OM=\left| d \right| \\
& ON=\dfrac{\left| d \right|}{2} \\
& OP=\dfrac{\left| d \right|}{3} \\
& -\dfrac{d}{3}>0\Leftrightarrow d<0 \\
\end{aligned} \right.$
Vì $OMNP$ là tứ diện vuông tại $O$ nên
${{V}_{OMNP}}=\dfrac{1}{6}OM.ON.OP=\dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{6}{{\left| d \right|}^{3}}=\dfrac{1}{36}.{{\left| d \right|}^{3}}=6\Leftrightarrow {{\left| d \right|}^{3}}=216\Leftrightarrow \left| d \right|=6\Leftrightarrow d=\pm 6.$
Mà $d<0\Rightarrow d=-6\Rightarrow \left( \alpha \right):x-2y+3z-6=0.$
Vậy $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $B\left( 1;-1;1 \right).$