Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):{{(x-4)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}+{{(z+6)}^{2}}=50$ và đường thẳng $d:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-3}{-1}$. Có bao nhiêu điểm $M$ thuộc trục hoành, với hoành độ là số nguyên, mà từ $M$ kẻ được đến $(S)$ hai tiếp tuyến cùng vuông góc với $d$ ?
A. 29.
B. 33.
C. 55.
D. 28.
A. 29.
B. 33.
C. 55.
D. 28.
Cách 1:
Xét mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 4 ; -3 ; -6 \right)$ và bán kính $R=5\sqrt{2}$.
Gọi điểm $M\left( m ; 0 ; 0 \right)\in Ox$ và $m\in \mathbb{Z}$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M\left( m ; 0 ; 0 \right)$ vuông góc với $d:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-3}{-1}$ có phương trình $2\left( x-m \right)+4y-z=0\Leftrightarrow 2x+4y-z-2m=0$.
Điểm $M$ nằm ngoài mặt cầu nên:
$IM>R$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( m-4 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}+{{6}^{2}}}>5\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow {{\left( m-4 \right)}^{2}}+45>50$ $\Leftrightarrow {{\left( m-4 \right)}^{2}}>5$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m-4>\sqrt{5} \\
& m-4<-\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>4+\sqrt{5} \\
& m<4-\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( 1 \right)$.
$d\left( I ; \left( P \right) \right)<R$ $\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2.4+4.\left( -3 \right)-\left( -6 \right)-2m \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}+{{1}^{2}}}}<5\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow \left| 2-2m \right|<5\sqrt{42}$ $\Leftrightarrow \left| 1-m \right|<\dfrac{5\sqrt{42}}{2}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-m<\dfrac{5\sqrt{42}}{2} \\
& 1-m>-\dfrac{5\sqrt{42}}{2} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>1-\dfrac{5\sqrt{42}}{2} \\
& m<1+\dfrac{5\sqrt{42}}{2} \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)\left( 2 \right)$ nên $m\in \left( 1-\dfrac{5\sqrt{42}}{2} ; 4-\sqrt{5} \right)\cup \left( 4+\sqrt{5} ; 1+\dfrac{5\sqrt{42}}{2} \right)$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -15;...;1 \right\}\cup \left\{ 7;...;17 \right\}$. Vậy có $28$ điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2:
Ta có: $\left( S \right):$ $I\left( 4;-3;-6 \right)$, $R=\sqrt{50}$.
Xét: $d\left( I,Ox \right)=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -6 \right)}^{2}}}=\sqrt{45}<R$. Do đó $Ox$ luôn cắt $\left( S \right)$.
Gọi $M=\left( a;0;0 \right)$, $a\in \mathbb{Z}$.
TH-1: $M\equiv Ox\cap \left( S \right)$ $\Rightarrow {{(a-4)}^{2}}=50\Leftrightarrow a=\pm \sqrt{50}+4\Rightarrow $ loại.
TH-2: $M$ nằm ngoài khối cầu
$\Rightarrow I{{M}^{2}}>50\Leftrightarrow {{(a-4)}^{2}}+9+36>50\Leftrightarrow {{(a-4)}^{2}}>5\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a<-\sqrt{5}+4 \\
& a>\sqrt{5}+4 \\
\end{aligned} \right.$.
$a\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& a\le 1 \\
& a\ge 7 \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$ là hai tiếp tuyến của $\left( S \right)$ kẻ từ $M$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$.
Theo giả thiết $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;4;-1 \right)$ và $\left( P \right)\backepsilon M$ $\Rightarrow \left( P \right):2x+4y-z-2a=0$.
Điều kiện để $\left( P \right)$ chứa hai tiếp tuyến ${{\Delta }_{1}}$, ${{\Delta }_{2}}$ của $\left( S \right)$ là: $d\left( I,\left( P \right) \right)<\sqrt{50}\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2-2a \right|}{\sqrt{21}}<\sqrt{50}\Leftrightarrow \left| 2-2a \right|<5\sqrt{42}\Leftrightarrow \dfrac{-5\sqrt{42}+2}{2}<a<\dfrac{5\sqrt{42}+2}{2}$.
$a\in \mathbb{Z}\Rightarrow -15\le a\le 17$.
Kết hợp với điều kiện: $\left[ \begin{aligned}
& -15\le a\le 1 \\
& 7\le a\le 17 \\
\end{aligned} \right. $, $ a\in \mathbb{Z}$.
Vậy số điểm $M$ thỏa mãn ycbt là: $17+11=28$.
Xét mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 4 ; -3 ; -6 \right)$ và bán kính $R=5\sqrt{2}$.
Gọi điểm $M\left( m ; 0 ; 0 \right)\in Ox$ và $m\in \mathbb{Z}$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M\left( m ; 0 ; 0 \right)$ vuông góc với $d:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-3}{-1}$ có phương trình $2\left( x-m \right)+4y-z=0\Leftrightarrow 2x+4y-z-2m=0$.
Điểm $M$ nằm ngoài mặt cầu nên:
$IM>R$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( m-4 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}+{{6}^{2}}}>5\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow {{\left( m-4 \right)}^{2}}+45>50$ $\Leftrightarrow {{\left( m-4 \right)}^{2}}>5$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m-4>\sqrt{5} \\
& m-4<-\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>4+\sqrt{5} \\
& m<4-\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( 1 \right)$.
$d\left( I ; \left( P \right) \right)<R$ $\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2.4+4.\left( -3 \right)-\left( -6 \right)-2m \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}+{{1}^{2}}}}<5\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow \left| 2-2m \right|<5\sqrt{42}$ $\Leftrightarrow \left| 1-m \right|<\dfrac{5\sqrt{42}}{2}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-m<\dfrac{5\sqrt{42}}{2} \\
& 1-m>-\dfrac{5\sqrt{42}}{2} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>1-\dfrac{5\sqrt{42}}{2} \\
& m<1+\dfrac{5\sqrt{42}}{2} \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)\left( 2 \right)$ nên $m\in \left( 1-\dfrac{5\sqrt{42}}{2} ; 4-\sqrt{5} \right)\cup \left( 4+\sqrt{5} ; 1+\dfrac{5\sqrt{42}}{2} \right)$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -15;...;1 \right\}\cup \left\{ 7;...;17 \right\}$. Vậy có $28$ điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2:
Ta có: $\left( S \right):$ $I\left( 4;-3;-6 \right)$, $R=\sqrt{50}$.
Xét: $d\left( I,Ox \right)=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -6 \right)}^{2}}}=\sqrt{45}<R$. Do đó $Ox$ luôn cắt $\left( S \right)$.
Gọi $M=\left( a;0;0 \right)$, $a\in \mathbb{Z}$.
TH-1: $M\equiv Ox\cap \left( S \right)$ $\Rightarrow {{(a-4)}^{2}}=50\Leftrightarrow a=\pm \sqrt{50}+4\Rightarrow $ loại.
TH-2: $M$ nằm ngoài khối cầu
$\Rightarrow I{{M}^{2}}>50\Leftrightarrow {{(a-4)}^{2}}+9+36>50\Leftrightarrow {{(a-4)}^{2}}>5\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a<-\sqrt{5}+4 \\
& a>\sqrt{5}+4 \\
\end{aligned} \right.$.
$a\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& a\le 1 \\
& a\ge 7 \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$ là hai tiếp tuyến của $\left( S \right)$ kẻ từ $M$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$.
Theo giả thiết $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;4;-1 \right)$ và $\left( P \right)\backepsilon M$ $\Rightarrow \left( P \right):2x+4y-z-2a=0$.
Điều kiện để $\left( P \right)$ chứa hai tiếp tuyến ${{\Delta }_{1}}$, ${{\Delta }_{2}}$ của $\left( S \right)$ là: $d\left( I,\left( P \right) \right)<\sqrt{50}\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2-2a \right|}{\sqrt{21}}<\sqrt{50}\Leftrightarrow \left| 2-2a \right|<5\sqrt{42}\Leftrightarrow \dfrac{-5\sqrt{42}+2}{2}<a<\dfrac{5\sqrt{42}+2}{2}$.
$a\in \mathbb{Z}\Rightarrow -15\le a\le 17$.
Kết hợp với điều kiện: $\left[ \begin{aligned}
& -15\le a\le 1 \\
& 7\le a\le 17 \\
\end{aligned} \right. $, $ a\in \mathbb{Z}$.
Vậy số điểm $M$ thỏa mãn ycbt là: $17+11=28$.
Đáp án D.