Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu...

Mặt cầu có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1\Rightarrow $ tâm ${O\left( 0; 0; 0 \right)}$, bán kính ${R=1}$.
Xét tọa độ tiếp điểm ${A\left( x;y;z \right)}$
${MA}$ là tiếp tuyến của mặt cầu tại ${A}$ ${\Rightarrow MA=\sqrt{M{{O}^{2}}-{{R}^{2}}}\Rightarrow M{{A}^{2}}=M{{O}^{2}}-{{R}^{2}}}$
${\Rightarrow {{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( z-{{z}_{0}} \right)}^{2}}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}-1}$
Tọa độ điểm $A$ thỏa mãn hệ:
${\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1 \\
& {{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( z-{{z}_{0}} \right)}^{2}}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}-1 \\
\end{aligned} \right.} $ $ {\Rightarrow {{x}_{0}}.x+{{y}_{0}}.y+{{z}_{0}}.z-1=0}$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ qua các tiếp điểm $A$, $B$, $C$ là:
${{x}_{0}}.x+{{y}_{0}}.y+{{z}_{0}}.z-1=0$
Mà mặt phẳng $\left( ABC \right)$ qua điểm $D\left( 1; 1; 0 \right)\Rightarrow {{x}_{0}}+{{y}_{0}}-1=0$ (*)
Do $M\left( {{x}_{0}}; {{y}_{0}}; {{z}_{0}} \right)\in d: \left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=1+t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=1+t \\
& {{y}_{0}}=1+t \\
& {{z}_{0}}=2-t \\
\end{aligned} \right.$
nên thế $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=1+t \\
& {{y}_{0}}=1+t \\
& {{z}_{0}}=2-t \\
\end{aligned} \right. $ vào (*) ta được $ 1+t+1+t-1=0\Rightarrow t=-\dfrac{1}{2} $ $ \Rightarrow M\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2} \right)$
Vậy $T=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{27}{4}$