Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):{{(x+1)}^{2}}+{{(y-9)}^{2}}+{{z}^{2}}=18.$ và các điểm $A(8;0;0),$ $B(4;4;0),$ Điểm $M({{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}})$ bất kì thuộc mặt cầu $(S)$. Biết $MA+3MB$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $M$ có tọa độ $({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$. Giá trị của biểu thức $T=4{{x}_{0}}-9{{y}_{0}}$ bằng
A. $T=-46.$
B. $T=-124.$
C. $T=46.$
D. $T=124.$
A. $T=-46.$
B. $T=-124.$
C. $T=46.$
D. $T=124.$
$\begin{aligned}
& MA+3MB=\sqrt{{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}} \\
& =\sqrt{{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+8\left( {{(x+1)}^{2}}+{{(y-9)}^{2}}+{{z}^{2}} \right)-144}+3\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}} \\
& =\sqrt{{{x}^{2}}-16x+64+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+8\left( {{x}^{2}}+2x+1+{{y}^{2}}-18y+81+{{z}^{2}} \right)-144}+3\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}} \\
& =\sqrt{9{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}-144y+9{{z}^{2}}+576}+3\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}} \\
& =3\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-16y+{{z}^{2}}+64}+3\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}} \\
& =3\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 4-x \right)}^{2}}+{{\left( 4-y \right)}^{2}}+{{z}^{2}}} \right) \\
& \ge 3\sqrt{9+9}=9\sqrt{2} \\
\end{aligned}$
Dấu bằng xảy ra khi: $\left\{ \begin{matrix}
x=2 \\
y=6 \\
z=1 \\
\end{matrix} \right.$$T=4{{x}_{0}}-9{{y}_{0}}=4.2-9.6=-46$
& MA+3MB=\sqrt{{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}} \\
& =\sqrt{{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+8\left( {{(x+1)}^{2}}+{{(y-9)}^{2}}+{{z}^{2}} \right)-144}+3\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}} \\
& =\sqrt{{{x}^{2}}-16x+64+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+8\left( {{x}^{2}}+2x+1+{{y}^{2}}-18y+81+{{z}^{2}} \right)-144}+3\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}} \\
& =\sqrt{9{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}-144y+9{{z}^{2}}+576}+3\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}} \\
& =3\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-16y+{{z}^{2}}+64}+3\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}} \\
& =3\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 4-x \right)}^{2}}+{{\left( 4-y \right)}^{2}}+{{z}^{2}}} \right) \\
& \ge 3\sqrt{9+9}=9\sqrt{2} \\
\end{aligned}$
Dấu bằng xảy ra khi: $\left\{ \begin{matrix}
x=2 \\
y=6 \\
z=1 \\
\end{matrix} \right.$$T=4{{x}_{0}}-9{{y}_{0}}=4.2-9.6=-46$
Đáp án A.