Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ và điểm $M\left( {{x}_{0}}; {{y}_{0}}; {{z}_{0}} \right)$ thuộc đường thẳng $d: \left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-t \\
& z=-1+t \\
\end{aligned} \right. $. Ba điểm $ A $, $ B $, $ C $ phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho $ MA $, $ MB $, $ MC $ là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng $ \left( ABC \right) $ đi qua điểm $ D\left( 1; 0;1 \right) $. Tổng $ T=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}$ bằng
A. $T=\dfrac{19}{4}$.
B. $T=\dfrac{27}{4}$.
C. $T=\dfrac{9}{2}$.
D. $T=\dfrac{8}{2}$.
Mặt cầu có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1\Rightarrow $ tâm $O\left( 0;0;0 \right)$, bán kính $R=1$.
Xét tọa độ tiếp điểm $A\left( x;y;z \right)$
$MA$ là tiếp tuyến của mặt cầu tại $A$ $\Rightarrow MA=\sqrt{M{{O}^{2}}-{{R}^{2}}}\Rightarrow M{{A}^{2}}=M{{O}^{2}}-{{R}^{2}}$
$\Rightarrow {{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( z-{{z}_{0}} \right)}^{2}}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}-1$
Tọa độ điểm $A$ thỏa mãn hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1 \\
& {{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( z-{{z}_{0}} \right)}^{2}}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}-1 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {{x}_{0}}.x+{{y}_{0}}.y+{{z}_{0}}.z-1=0$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ qua các tiếp điểm $A$, $B$, $C$ là:
${{x}_{0}}.x+{{y}_{0}}.y+{{z}_{0}}.z-1=0$
Mà mặt phẳng $\left( ABC \right)$ qua điểm $D\left( 1;0;1 \right)\Rightarrow {{x}_{0}}+{{z}_{0}}-1=0$ (*)
Do $M\left( {{x}_{0}}; {{y}_{0}}; {{z}_{0}} \right)\in d: \left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-t \\
& z=-1+t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=1+t \\
& {{y}_{0}}=2-t \\
& {{z}_{0}}=-1+t \\
\end{aligned} \right.$
nên thế $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=1+t \\
& {{y}_{0}}=2-t \\
& {{z}_{0}}=-1+t \\
\end{aligned} \right. $ vào (*) ta được $ 1+t-1+t-1=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{2} $ $ \Rightarrow M\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2} \right)$
Vậy $T=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{19}{4}$.
& x=1+t \\
& y=2-t \\
& z=-1+t \\
\end{aligned} \right. $. Ba điểm $ A $, $ B $, $ C $ phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho $ MA $, $ MB $, $ MC $ là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng $ \left( ABC \right) $ đi qua điểm $ D\left( 1; 0;1 \right) $. Tổng $ T=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}$ bằng
A. $T=\dfrac{19}{4}$.
B. $T=\dfrac{27}{4}$.
C. $T=\dfrac{9}{2}$.
D. $T=\dfrac{8}{2}$.
Xét tọa độ tiếp điểm $A\left( x;y;z \right)$
$MA$ là tiếp tuyến của mặt cầu tại $A$ $\Rightarrow MA=\sqrt{M{{O}^{2}}-{{R}^{2}}}\Rightarrow M{{A}^{2}}=M{{O}^{2}}-{{R}^{2}}$
$\Rightarrow {{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( z-{{z}_{0}} \right)}^{2}}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}-1$
Tọa độ điểm $A$ thỏa mãn hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1 \\
& {{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( z-{{z}_{0}} \right)}^{2}}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}-1 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {{x}_{0}}.x+{{y}_{0}}.y+{{z}_{0}}.z-1=0$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ qua các tiếp điểm $A$, $B$, $C$ là:
${{x}_{0}}.x+{{y}_{0}}.y+{{z}_{0}}.z-1=0$
Mà mặt phẳng $\left( ABC \right)$ qua điểm $D\left( 1;0;1 \right)\Rightarrow {{x}_{0}}+{{z}_{0}}-1=0$ (*)
Do $M\left( {{x}_{0}}; {{y}_{0}}; {{z}_{0}} \right)\in d: \left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-t \\
& z=-1+t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=1+t \\
& {{y}_{0}}=2-t \\
& {{z}_{0}}=-1+t \\
\end{aligned} \right.$
nên thế $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=1+t \\
& {{y}_{0}}=2-t \\
& {{z}_{0}}=-1+t \\
\end{aligned} \right. $ vào (*) ta được $ 1+t-1+t-1=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{2} $ $ \Rightarrow M\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2} \right)$
Vậy $T=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{19}{4}$.
Đáp án A.