Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x+4 y+1=0$ và các điểm $A(-2 ; 0 ;-2 \sqrt{2}), B(-4 ;-4 ; 0)$. Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thuộc $\left( S \right)$ và thỏa mãn $M A^{2}-O A^{2}+\overrightarrow{M O} \overrightarrow{M B}=4$ là đường tròn $\left( C \right)$. Chu vi của $\left( C \right)$ bằng
A. $5\pi $.
B. $\dfrac{3 \sqrt{7}}{2} \pi$.
C. $3\pi $.
D. $\dfrac{3 \sqrt{2}}{2} \pi$.
A. $5\pi $.
B. $\dfrac{3 \sqrt{7}}{2} \pi$.
C. $3\pi $.
D. $\dfrac{3 \sqrt{2}}{2} \pi$.
Mặt cầu $(S): x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x+4 y+1=0$ có tâm $I(-1 ;-2 ; 0)$, bán kính $R=2$.
Gọi $M(x ; y ; z)$ ta được $M A^{2}=(x+2)^{2}+y^{2}+(z+2 \sqrt{2})^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x+4 \sqrt{2} z+12$.
và $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{M O}=(-x ;-y ;-z) \\ \overrightarrow{M B}=(-4-x ;-4-y ;-z)\end{array} \Rightarrow \overrightarrow{M O} \cdot \overrightarrow{M B}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x+4 y .\right.$
Ta có $M A^{2}-O A^{2}+\overrightarrow{M O} \cdot \overrightarrow{M B}=4 \Leftrightarrow 2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}+8 x+4 y+4 \sqrt{2} z-4=0$.
$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x+2 y+2 \sqrt{2} z-2=0$.
Suy ra $M$ thuộc mặt cầu $\left(S^{\prime}\right)$ tâm $I^{\prime}(-2 ;-1 ;-\sqrt{2})$, bán kính $R^{\prime}=3$.
Nên $M \in(S) \cap\left(S^{\prime}\right)$ là đường tròn $(C)$ có tâm $H$ là hình chiếu của $M$ lên $I^{\prime}$.
Vì $I I^{\prime}=2$ nên $I^{\prime} \in(S)$.
Gọi $K$ là trung điểm của $I^{\prime} M$ ta có $I K=\sqrt{2^{2}-\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$.
Mà $\sin \widehat{M I^{\prime} I}=\dfrac{M H}{I^{\prime} M}=\dfrac{I K}{I I^{\prime}}$ suy ra $M H=\dfrac{I^{\prime} M . I K}{I I^{\prime}}=\dfrac{3 \sqrt{7}}{4}$.
Vậy bán kính của đường tròn $(C)$ là $r=M H=\dfrac{3 \sqrt{7}}{4}$.
Suy ra chu vi của $(C)$ là: $\dfrac{3 \sqrt{7}}{2} \pi$
Gọi $M(x ; y ; z)$ ta được $M A^{2}=(x+2)^{2}+y^{2}+(z+2 \sqrt{2})^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x+4 \sqrt{2} z+12$.
và $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{M O}=(-x ;-y ;-z) \\ \overrightarrow{M B}=(-4-x ;-4-y ;-z)\end{array} \Rightarrow \overrightarrow{M O} \cdot \overrightarrow{M B}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x+4 y .\right.$
Ta có $M A^{2}-O A^{2}+\overrightarrow{M O} \cdot \overrightarrow{M B}=4 \Leftrightarrow 2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}+8 x+4 y+4 \sqrt{2} z-4=0$.
$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x+2 y+2 \sqrt{2} z-2=0$.
Suy ra $M$ thuộc mặt cầu $\left(S^{\prime}\right)$ tâm $I^{\prime}(-2 ;-1 ;-\sqrt{2})$, bán kính $R^{\prime}=3$.
Nên $M \in(S) \cap\left(S^{\prime}\right)$ là đường tròn $(C)$ có tâm $H$ là hình chiếu của $M$ lên $I^{\prime}$.
Vì $I I^{\prime}=2$ nên $I^{\prime} \in(S)$.
Mà $\sin \widehat{M I^{\prime} I}=\dfrac{M H}{I^{\prime} M}=\dfrac{I K}{I I^{\prime}}$ suy ra $M H=\dfrac{I^{\prime} M . I K}{I I^{\prime}}=\dfrac{3 \sqrt{7}}{4}$.
Vậy bán kính của đường tròn $(C)$ là $r=M H=\dfrac{3 \sqrt{7}}{4}$.
Suy ra chu vi của $(C)$ là: $\dfrac{3 \sqrt{7}}{2} \pi$
Đáp án B.