Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-7=0$ và điểm $M\left( 2;0;1 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ thay đổi đi qua $M$ và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng $r.$ Khi $r$ đạt giá trị nhỏ nhất, khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng:
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\sqrt{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. $\sqrt{6}$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\sqrt{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. $\sqrt{6}$
Phương pháp:
- Xác định tâm và bán kính mặt cầu $\left( S \right).$
- Sử dụng định lí Pytago, chứng minh: Để $r$ đạt giá trị nhỏ nhất thì IH đạt giá trị lớn nhất.
- Nhận xét $IH\le IM.$
- Khi $r$ đạt giá trị nhỏ nhất, viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right).$
- Sử dụng: Khoảng cách từ điểm $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):Ax+By+Cz+D=0$ là
$d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}.$
Cách giải:
Mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-7=0$ có tâm $I\left( 1;1;0 \right),$ bán kính $R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}-\left( -7 \right)}=3.$
Ta có $MI=\sqrt{{{\left( 1-2 \right)}^{2}}+{{\left( 1-0 \right)}^{2}}+{{\left( 0-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{3}<R$ nên $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right).$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $r=\sqrt{I{{A}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{9-I{{H}^{2}}}.$
Để $r$ đạt giá trị nhỏ nhất thì IH đạt giá trị lớn nhất.
Ta có $\Delta IMH$ vuông tại $H$ nên $IH\le IM,$ do đó $I{{M}_{\max }}=IM=\sqrt{3}$ khi $H\equiv M$ hay $IM\bot \left( P \right).$
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M\left( 2;0;1 \right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow{IM}=\left( 1;-1;1 \right)$ là: $x-y+z-3=0.$
Vậy $d\left( O;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| -3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\sqrt{3}.$
- Xác định tâm và bán kính mặt cầu $\left( S \right).$
- Sử dụng định lí Pytago, chứng minh: Để $r$ đạt giá trị nhỏ nhất thì IH đạt giá trị lớn nhất.
- Nhận xét $IH\le IM.$
- Khi $r$ đạt giá trị nhỏ nhất, viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right).$
- Sử dụng: Khoảng cách từ điểm $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):Ax+By+Cz+D=0$ là
$d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}.$
Cách giải:
Mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-7=0$ có tâm $I\left( 1;1;0 \right),$ bán kính $R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}-\left( -7 \right)}=3.$
Ta có $MI=\sqrt{{{\left( 1-2 \right)}^{2}}+{{\left( 1-0 \right)}^{2}}+{{\left( 0-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{3}<R$ nên $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right).$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $r=\sqrt{I{{A}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{9-I{{H}^{2}}}.$
Để $r$ đạt giá trị nhỏ nhất thì IH đạt giá trị lớn nhất.
Ta có $\Delta IMH$ vuông tại $H$ nên $IH\le IM,$ do đó $I{{M}_{\max }}=IM=\sqrt{3}$ khi $H\equiv M$ hay $IM\bot \left( P \right).$
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M\left( 2;0;1 \right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow{IM}=\left( 1;-1;1 \right)$ là: $x-y+z-3=0.$
Vậy $d\left( O;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| -3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\sqrt{3}.$
Đáp án C.