Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=24$ cắt mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+y=0$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$. Tìm hoành độ của điểm $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $A\left( 6;-10;3 \right)$ lớn nhất.
A. $-1$.
B. $-4$.
C. $2$.
D. $-5$.
A. $-1$.
B. $-4$.
C. $2$.
D. $-5$.
Ta có: Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 0;2;-3 \right)$.
Gọi ${A}'$ là hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
Ptđt $\left( AA' \right):\left\{ \begin{aligned}
& x=6+t \\
& y=-10+t \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $A'=AA'\cap \left( \alpha \right)$
$\Rightarrow 6+t-10+t=0\Rightarrow t=2\Rightarrow A'\left( 8;-8;3 \right)$
Gọi ${I}'$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ suy ra ${I}'$ là tâm của đường tròn $\left( C \right)$
Làm tương tự như cách tìm tọa độ ${A}'$, ta có ${I}'\left( -1;1-3 \right)$
Ta có $A{{M}^{2}}=A{{{A}'}^{2}}+{A}'{{M}^{2}}$ vì $A{A}'$ không đổi nên $AM$ lớn nhất khi ${A}'M$ lớn nhất, từ đó suy ra ${A}',M,{I}'$ thẳng hàng và ${I}'$ nằm giữa ${A}'$ và $M$.
Ta có
$\begin{aligned}
& {I}'I=\sqrt{2}; {A}'{I}'=3\sqrt{22} \\
& {{R}_{(C)}}=\sqrt{22} \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow {A}'M=4\sqrt{22}$
Vậy
$\begin{aligned}
& \overrightarrow{{A}'M}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{{A}'{I}'}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}-{{x}_{{{A}'}}}=\dfrac{4}{3}\left( {{x}_{I}}-{{x}_{{{A}'}}} \right) \\
& {{y}_{M}}-{{y}_{{{A}'}}}=\dfrac{4}{3}\left( {{y}_{I}}-{{y}_{{{A}'}}} \right) \\
& {{z}_{M}}-{{z}_{{{A}'}}}=\dfrac{4}{3}\left( {{z}_{I}}-{{z}_{{{A}'}}} \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=-4 \\
& {{y}_{M}}=4 \\
& {{z}_{M}}=-5 \\
\end{aligned} \right. \\
& \\
\end{aligned}$
Gọi ${A}'$ là hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
Ptđt $\left( AA' \right):\left\{ \begin{aligned}
& x=6+t \\
& y=-10+t \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $A'=AA'\cap \left( \alpha \right)$
$\Rightarrow 6+t-10+t=0\Rightarrow t=2\Rightarrow A'\left( 8;-8;3 \right)$
Gọi ${I}'$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ suy ra ${I}'$ là tâm của đường tròn $\left( C \right)$
Làm tương tự như cách tìm tọa độ ${A}'$, ta có ${I}'\left( -1;1-3 \right)$
Ta có $A{{M}^{2}}=A{{{A}'}^{2}}+{A}'{{M}^{2}}$ vì $A{A}'$ không đổi nên $AM$ lớn nhất khi ${A}'M$ lớn nhất, từ đó suy ra ${A}',M,{I}'$ thẳng hàng và ${I}'$ nằm giữa ${A}'$ và $M$.
Ta có
$\begin{aligned}
& {I}'I=\sqrt{2}; {A}'{I}'=3\sqrt{22} \\
& {{R}_{(C)}}=\sqrt{22} \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow {A}'M=4\sqrt{22}$
Vậy
$\begin{aligned}
& \overrightarrow{{A}'M}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{{A}'{I}'}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}-{{x}_{{{A}'}}}=\dfrac{4}{3}\left( {{x}_{I}}-{{x}_{{{A}'}}} \right) \\
& {{y}_{M}}-{{y}_{{{A}'}}}=\dfrac{4}{3}\left( {{y}_{I}}-{{y}_{{{A}'}}} \right) \\
& {{z}_{M}}-{{z}_{{{A}'}}}=\dfrac{4}{3}\left( {{z}_{I}}-{{z}_{{{A}'}}} \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=-4 \\
& {{y}_{M}}=4 \\
& {{z}_{M}}=-5 \\
\end{aligned} \right. \\
& \\
\end{aligned}$
Đáp án B.