Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+6z-13=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-1}{1}$. Xét điểm $M\left( a,b,c \right)$ với $a<0$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho từ $M$ kẻ được ba tiếp tuyến $MA$, $MB$, $MC$ đến mặt cầu $\left( S \right)$ ( $A$, $B$, $C$ là các tiếp điểm) thỏa mãn $\widehat{AMB}=60{}^\circ $, $\widehat{BMC}=90{}^\circ $, $\widehat{CMA}=120{}^\circ $. Tổng $a+b+c$ bằng
A. $\dfrac{10}{3}$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $-2$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;-3 \right)$, bán kính $R=3\sqrt{3}$.
Tam giác $MAB$ đều $\Rightarrow AB=MA$.
Tam giác $MBC$ vuông cân tại $M$ $\Rightarrow BC=MA\sqrt{2}$.
Tam giác $MAC$ cân tại $M$ có $, \widehat{CMA}=120{}^\circ \Rightarrow AC=MA\sqrt{3}$.
Ta có: $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}=3M{{A}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $B$.
Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ $\Rightarrow AH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{MA\sqrt{3}}{2}$
Vì $MA=MB=MC , IA=IB=IC$ nên $MH$ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên $M,I,H$ thẳng hàng.
Xét tam giác $MAI$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ :
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{3A{{M}^{2}}}{4}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{27}\Leftrightarrow AM=9\Rightarrow AM=3\Rightarrow IM=6$.
$M\in d\Rightarrow M\left( t-1;t-2;t+1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IM}=\left( t-2;t-4;t+4 \right)$.
$I{{M}^{2}}=36\Rightarrow 3{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0\Rightarrow M\left( -1;-2;1 \right) \left( n \right) \\
& t=\dfrac{4}{3}\Rightarrow M\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{-2}{3};\dfrac{7}{3} \right) \left( l \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=-2$.
A. $\dfrac{10}{3}$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $-2$.
Tam giác $MAB$ đều $\Rightarrow AB=MA$.
Tam giác $MBC$ vuông cân tại $M$ $\Rightarrow BC=MA\sqrt{2}$.
Tam giác $MAC$ cân tại $M$ có $, \widehat{CMA}=120{}^\circ \Rightarrow AC=MA\sqrt{3}$.
Ta có: $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}=3M{{A}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $B$.
Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ $\Rightarrow AH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{MA\sqrt{3}}{2}$
Vì $MA=MB=MC , IA=IB=IC$ nên $MH$ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên $M,I,H$ thẳng hàng.
Xét tam giác $MAI$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ :
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{3A{{M}^{2}}}{4}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{27}\Leftrightarrow AM=9\Rightarrow AM=3\Rightarrow IM=6$.
$M\in d\Rightarrow M\left( t-1;t-2;t+1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IM}=\left( t-2;t-4;t+4 \right)$.
$I{{M}^{2}}=36\Rightarrow 3{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0\Rightarrow M\left( -1;-2;1 \right) \left( n \right) \\
& t=\dfrac{4}{3}\Rightarrow M\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{-2}{3};\dfrac{7}{3} \right) \left( l \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=-2$.
Đáp án D.