Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-8y+9=0$ và hai điểm $A\left( 4;2;1 \right)$, $B\left( 3;0;0 \right)$. Gọi $M$ là một điểm bất kì thuộc mặt cầu $\left( S \right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=2MA+MB$ bằng
A. $4\sqrt{2}$.
B. $2\sqrt{2}$.
C. $6\sqrt{2}$.
D. $3\sqrt{2}$.
$\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-8y+9=0$ có tâm $I\left( -1;4;0 \right)$ và bán kính $R=2$
$A\left( 4;2;1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IA}=\left( 5;-2;1 \right)\Rightarrow IA=\sqrt{30}>R$
$B\left( 3;0;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IB}=\left( 4;-4;0 \right)\Rightarrow IB=4\sqrt{2}=2R$
Gọi $M\left( x;y;z \right)$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ và ${B}'\left( a;b;c \right)$ sao cho $MB=2M{B}'$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{\left( 3-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=4\left[ {{\left( a-x \right)}^{2}}+{{\left( b-y \right)}^{2}}+{{\left( c-z \right)}^{2}} \right] \\
& \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}-2\left( 4a-3 \right)x-2\left( 4b \right)y-2\left( 4c \right)z+4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-9=0 \\
\end{aligned}$
Lại có $M\in \left( S \right)\Rightarrow 3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}+6x-24y+27=0$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2\left( 4a-3 \right)=6 \\
& -2\left( 4b \right)=-24 \\
& -2\left( 4c \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=3 \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B'\left( 0;3;0 \right)$ nằm trong mặt cầu.
$\overrightarrow{I{B}'}=\left( 1;-1;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{I{B}'}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{IB}$.
$P=2MA+MB=2MA+2M{B}'=2\left( MA+M{B}' \right)\ge 2A{B}'$
Dấu $''=''$ xảy ra $M=A{B}'\cap \left( S \right)$
${{P}_{\min }}=2A{B}'=2.3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.
A. $4\sqrt{2}$.
B. $2\sqrt{2}$.
C. $6\sqrt{2}$.
D. $3\sqrt{2}$.
$\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-8y+9=0$ có tâm $I\left( -1;4;0 \right)$ và bán kính $R=2$
$A\left( 4;2;1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IA}=\left( 5;-2;1 \right)\Rightarrow IA=\sqrt{30}>R$
$B\left( 3;0;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IB}=\left( 4;-4;0 \right)\Rightarrow IB=4\sqrt{2}=2R$
Gọi $M\left( x;y;z \right)$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ và ${B}'\left( a;b;c \right)$ sao cho $MB=2M{B}'$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{\left( 3-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=4\left[ {{\left( a-x \right)}^{2}}+{{\left( b-y \right)}^{2}}+{{\left( c-z \right)}^{2}} \right] \\
& \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}-2\left( 4a-3 \right)x-2\left( 4b \right)y-2\left( 4c \right)z+4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-9=0 \\
\end{aligned}$
Lại có $M\in \left( S \right)\Rightarrow 3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}+6x-24y+27=0$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2\left( 4a-3 \right)=6 \\
& -2\left( 4b \right)=-24 \\
& -2\left( 4c \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=3 \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B'\left( 0;3;0 \right)$ nằm trong mặt cầu.
$\overrightarrow{I{B}'}=\left( 1;-1;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{I{B}'}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{IB}$.
$P=2MA+MB=2MA+2M{B}'=2\left( MA+M{B}' \right)\ge 2A{B}'$
Dấu $''=''$ xảy ra $M=A{B}'\cap \left( S \right)$
${{P}_{\min }}=2A{B}'=2.3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.
Đáp án C.