Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=24$ cắt mặt phẳng $\left(...

Phương pháp:
- Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right).$
- Gọi $H$ là tâm đường tròn $\left( C \right)$, tìm tọa độ điểm $H.$ Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $\left( \alpha \right),$ tìm tọa độ điểm $K.$
- Sử dụng định lí Pytago: $A{{M}^{2}}=A{{K}^{2}}+K{{M}^{2}},$ chứng minh $A{{M}_{\max }}\Leftrightarrow K{{M}_{\max }}.$
- Sử dụng BĐT tam giác: $KM\le KH+HM,$ tìm $M$ để $KM=KH+HM.$
Cách giải:

Mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=24$ có tâm $I\left( 0;2;-3 \right)$, bán kính $R=2\sqrt{6}.$
Gọi $H$ là tâm đường tròn $\left( C \right)\Rightarrow IH\bot \left( \alpha \right).$
$\Rightarrow $ Phương trình đường thẳng $IH:\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=2+t \\
& z=-3 \\
\end{aligned} \right..$
Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=2+t \\
& z=-3 \\
& x+y=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=2+t \\
& z=-3 \\
& t+2+t=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=1 \\
& z=-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( -1;1;-3 \right).$
Ta có $IH=d\left( I;\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 0+2 \right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow $ Bán kính đường tròn $\left( C \right)$ là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{24-2}=\sqrt{22}.$
Dễ thấy điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right).$ Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $\left( \alpha \right),$ tương tự như tìm tọa độ điểm $H$ ta tìm được $K\left( 8;-8;3 \right).$
Khi đó ta có $KH=\sqrt{{{\left( 8+1 \right)}^{2}}+{{\left( -8-1 \right)}^{2}}+{{\left( 3+3 \right)}^{2}}}=3\sqrt{22}>r.$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $A{{M}^{2}}=A{{K}^{2}}+K{{M}^{2}},$ do $AK$ không đổi nên $A{{M}_{\max }}\Leftrightarrow K{{M}_{\text{max}}}$.
Ta cps $KM\le KH+HM$ (BĐT tam giác), do đó $K{{M}_{\max }}\Leftrightarrow HM=KH+HM=3\sqrt{22}+\sqrt{22}=4\sqrt{22},$ khi đó $\overrightarrow{MK}=4\overrightarrow{MH}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 8-{{x}_{M}}=4\left( -1-{{x}_{M}} \right) \\
& -8-{{y}_{M}}=4\left( 1-{{y}_{M}} \right) \\
& 3-{{z}_{M}}=4\left( 3-{{z}_{M}} \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=-4 \\
& {{y}_{M}}=4 \\
& {{z}_{M}}=3 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy ${{x}_{M}}=-4.$