Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)\text{: }{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4$ và điểm $A\left( 2 ;2 ;2 \right)$. Từ $A$ kẻ ba tiếp tuyến $AB$, $AC$, $AD$ với $B$, $C$, $D$ là các tiếp điểm. Viết phương trình mặt phẳng $\left( BCD \right).$
A. $2x+2y+z-1=0$.
B. $2x+2y+z-3=0$.
C. $2x+2y+z+1=0$.
D. $2x+2y+z-5=0$.
A. $2x+2y+z-1=0$.
B. $2x+2y+z-3=0$.
C. $2x+2y+z+1=0$.
D. $2x+2y+z-5=0$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 0 ;0 ;1 \right)$, bán kính $R=2$.
Có $\overrightarrow{IA}=\left( 2 ;2 ;1 \right)$ $\Rightarrow IA=3$.
Tam giác $ABI$ vuông tại $B$ nên ta có $AB=\sqrt{I{{A}^{2}}-I{{B}^{2}}}=\sqrt{5}$.
Gọi $H\left( x ;y ;z \right)$ là chân đường cao kẻ từ $B$ của tam giác $ABI$.
Ta có: $I{{B}^{2}}=IH.IA\Rightarrow IH=\dfrac{I{{B}^{2}}}{IA}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow IH=\dfrac{4}{9}.IA$.
Từ suy ra được $\overrightarrow{IH}=\dfrac{4}{9}\overrightarrow{IA}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-0=\dfrac{4}{9}.2 \\
& y-0=\dfrac{4}{9}.2 \\
& z-1=\dfrac{4}{9}.1 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{8}{9} \\
& y=\dfrac{8}{9} \\
& z=\dfrac{13}{9} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow H\left( \dfrac{8}{9} ;\dfrac{8}{9} ;\dfrac{13}{9} \right)$.
Mặt phẳng $\left( BCD \right)$ vuông góc với đường thẳng $IA$ nên nhận $\overrightarrow{IA}=\left( 2 ;2 ;1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến. Hơn nữa mặt phẳng $\left( BCD \right)$ đi qua điểm $H$.
Vậy $\left( BCD \right)$ có phương trình: $2.\left( x-\dfrac{8}{9} \right)+2.\left( y-\dfrac{8}{9} \right)+1.\left( z-\dfrac{13}{9} \right)=0$ $\Leftrightarrow 2x+2y+z-5=0$.
Có $\overrightarrow{IA}=\left( 2 ;2 ;1 \right)$ $\Rightarrow IA=3$.
Tam giác $ABI$ vuông tại $B$ nên ta có $AB=\sqrt{I{{A}^{2}}-I{{B}^{2}}}=\sqrt{5}$.
Gọi $H\left( x ;y ;z \right)$ là chân đường cao kẻ từ $B$ của tam giác $ABI$.
Ta có: $I{{B}^{2}}=IH.IA\Rightarrow IH=\dfrac{I{{B}^{2}}}{IA}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow IH=\dfrac{4}{9}.IA$.
Từ suy ra được $\overrightarrow{IH}=\dfrac{4}{9}\overrightarrow{IA}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-0=\dfrac{4}{9}.2 \\
& y-0=\dfrac{4}{9}.2 \\
& z-1=\dfrac{4}{9}.1 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{8}{9} \\
& y=\dfrac{8}{9} \\
& z=\dfrac{13}{9} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow H\left( \dfrac{8}{9} ;\dfrac{8}{9} ;\dfrac{13}{9} \right)$.
Mặt phẳng $\left( BCD \right)$ vuông góc với đường thẳng $IA$ nên nhận $\overrightarrow{IA}=\left( 2 ;2 ;1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến. Hơn nữa mặt phẳng $\left( BCD \right)$ đi qua điểm $H$.
Vậy $\left( BCD \right)$ có phương trình: $2.\left( x-\dfrac{8}{9} \right)+2.\left( y-\dfrac{8}{9} \right)+1.\left( z-\dfrac{13}{9} \right)=0$ $\Leftrightarrow 2x+2y+z-5=0$.
Đáp án D.