Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( 4;2;1 \right)$ bán kính bằng $2$. Gọi $M,N$ là hai điểm lần lượt thuộc hai trục $Ox,Oy$ sao cho $MN$ tiếp xúc với $\left( S \right)$, đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OIMN$ có bán kính bằng $\dfrac{7}{2}$. Gọi $A$ là tiếp điểm của $MN$ và $\left( S \right)$, giá trị $AM.AN$ bằng.
A. $6\sqrt{2}$.
B. $14$.
C. $8$.
D. $9\sqrt{2}$.
A. $6\sqrt{2}$.
B. $14$.
C. $8$.
D. $9\sqrt{2}$.
Nhận xét: Mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với mặt phẳng $Oxy$ tại $A\left( 4;2;0 \right)$. Nên suy ra $MN$ đi qua $A$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& AM=x \\
& AN=y \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ \dfrac{y}{4}=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}\Rightarrow y=\dfrac{4x}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}$.
Xét tứ diện $OIMN$ có $IA\bot \left( OMN \right)$ và $\Delta OMN$ vuông tại $O$.Nên tâm $K$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OIMN$ thuộc mặt phẳng $\left( IMN \right)$.
Hay bán kính mặt cầu ngoại tiếp $OIMN$ bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta IMN$.
Theo đề ta có: $S=\dfrac{IM.IN.MN}{4.\dfrac{7}{2}}=\dfrac{1}{2}.IA.MN=\dfrac{1}{2}.2.MN$. Suy ra $IM.IN=14$.
Mà: $IM=\sqrt{{{x}^{2}}+4}$, $IN=\sqrt{{{y}^{2}}+4}$.
Nên ta có $IM.IN=\sqrt{{{x}^{2}}+4}.\sqrt{{{y}^{2}}+4}=14$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+4 \right)\left( {{y}^{2}}+4 \right)=196 \\
& \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+4 \right)\left( \dfrac{16{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-1}+4 \right)=196 \\
& \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+4 \right)\left( 5{{x}^{2}}-1 \right)=49\left( {{x}^{2}}-1 \right) \\
& \Leftrightarrow 5{{x}^{4}}-30{{x}^{2}}+45=0 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}=3 \\
\end{aligned}$
Khi đó: $AM.AN=x.y=\dfrac{4{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=\dfrac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}$.
& AM=x \\
& AN=y \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ \dfrac{y}{4}=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}\Rightarrow y=\dfrac{4x}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}$.
Xét tứ diện $OIMN$ có $IA\bot \left( OMN \right)$ và $\Delta OMN$ vuông tại $O$.Nên tâm $K$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OIMN$ thuộc mặt phẳng $\left( IMN \right)$.
Hay bán kính mặt cầu ngoại tiếp $OIMN$ bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta IMN$.
Theo đề ta có: $S=\dfrac{IM.IN.MN}{4.\dfrac{7}{2}}=\dfrac{1}{2}.IA.MN=\dfrac{1}{2}.2.MN$. Suy ra $IM.IN=14$.
Nên ta có $IM.IN=\sqrt{{{x}^{2}}+4}.\sqrt{{{y}^{2}}+4}=14$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+4 \right)\left( {{y}^{2}}+4 \right)=196 \\
& \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+4 \right)\left( \dfrac{16{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-1}+4 \right)=196 \\
& \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+4 \right)\left( 5{{x}^{2}}-1 \right)=49\left( {{x}^{2}}-1 \right) \\
& \Leftrightarrow 5{{x}^{4}}-30{{x}^{2}}+45=0 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}=3 \\
\end{aligned}$
Khi đó: $AM.AN=x.y=\dfrac{4{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=\dfrac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}$.
Đáp án D.