Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=4$ và đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( 1;0;-2 \right),$ nhận $\overrightarrow{u}=\left( 1;a;1-a \right)$ (với $a\in \mathbb{R}$ ) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng $d$ cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của $\left( S \right)$ tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi ${{a}^{2}}$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)$.
B. $\left( \dfrac{3}{2};2 \right)$.
C. $\left( 7;\dfrac{15}{2} \right)$.
D. $\left( 0;\dfrac{1}{4} \right)$.
A. $\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)$.
B. $\left( \dfrac{3}{2};2 \right)$.
C. $\left( 7;\dfrac{15}{2} \right)$.
D. $\left( 0;\dfrac{1}{4} \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-2;-1 \right)$, bán kính $R=2$
Gọi $B,C$ là giao điểm giữa $d$ và $\left( S \right)$, và $O$ là hình chiếu vuông góc của I trên giao tuyến hai mặt tiếp diện.
Theo đề $d$ cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của $\left( S \right)$ tại hai điểm đó vuông góc với nhau, nghĩa là tứ giác $OBIC$ là hình vuông, từ đó suy ra $BC=2\sqrt{2}$
Gọi $H$ là trung điểm $BC$ suy ra $BH=\dfrac{BC}{2}=\sqrt{2}$
Kẻ $IH\bot BC$, ta có $IH=\sqrt{I{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{2}$
Từ đó ta có $d\left( I;d \right)=\sqrt{2}$
Ta có $\overrightarrow{AI}=\left( 0;-2;1 \right)$, $\overrightarrow{u}=\left( 1;a;1-a \right)$ suy ra $\left[ \overrightarrow{AI};\overrightarrow{u} \right]=\left( a-2;1;2 \right)$
Từ đó $\text{d}\left( I;d \right)=\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AI};\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}{\sqrt{1+{{a}^{2}}+{{\left( 1-a \right)}^{2}}}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}=\dfrac{5}{3}\in \left( \dfrac{3}{2};2 \right)$.
Gọi $B,C$ là giao điểm giữa $d$ và $\left( S \right)$, và $O$ là hình chiếu vuông góc của I trên giao tuyến hai mặt tiếp diện.
Theo đề $d$ cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của $\left( S \right)$ tại hai điểm đó vuông góc với nhau, nghĩa là tứ giác $OBIC$ là hình vuông, từ đó suy ra $BC=2\sqrt{2}$
Gọi $H$ là trung điểm $BC$ suy ra $BH=\dfrac{BC}{2}=\sqrt{2}$
Kẻ $IH\bot BC$, ta có $IH=\sqrt{I{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{2}$
Từ đó ta có $d\left( I;d \right)=\sqrt{2}$
Ta có $\overrightarrow{AI}=\left( 0;-2;1 \right)$, $\overrightarrow{u}=\left( 1;a;1-a \right)$ suy ra $\left[ \overrightarrow{AI};\overrightarrow{u} \right]=\left( a-2;1;2 \right)$
Từ đó $\text{d}\left( I;d \right)=\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AI};\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}{\sqrt{1+{{a}^{2}}+{{\left( 1-a \right)}^{2}}}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}=\dfrac{5}{3}\in \left( \dfrac{3}{2};2 \right)$.
Đáp án B.