Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=25$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x-y+z-7=0$. Biết mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn $\left( C \right)$. Khi đó bán kính $r$ của đường tròn $\left( C \right)$ là
A. $r=\dfrac{\sqrt{51}}{3}$.
B. $r=\dfrac{\sqrt{219}}{3}$.
C. $r=\dfrac{\sqrt{39}}{3}$.
D. $r=\dfrac{\sqrt{231}}{3}$
A. $r=\dfrac{\sqrt{51}}{3}$.
B. $r=\dfrac{\sqrt{219}}{3}$.
C. $r=\dfrac{\sqrt{39}}{3}$.
D. $r=\dfrac{\sqrt{231}}{3}$
Mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=25$ có tâm $I\left( 2;-1;0 \right)$ và bán kính $R=5$.
Ta có $\text{d}\left( I,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 2{{x}_{I}}-{{y}_{I}}+{{z}_{I}}-7 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ nên bán kính $r$ của đường tròn $\left( C \right)$ bằng
$r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left[ \text{d}\left( I,\left( \alpha \right) \right) \right]}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{\left( \dfrac{\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{219}}{3}$.
Ta có $\text{d}\left( I,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 2{{x}_{I}}-{{y}_{I}}+{{z}_{I}}-7 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ nên bán kính $r$ của đường tròn $\left( C \right)$ bằng
$r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left[ \text{d}\left( I,\left( \alpha \right) \right) \right]}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{\left( \dfrac{\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{219}}{3}$.
Đáp án B.