Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$. Có bao nhiêu điểm $M$ thuộc $\left( S \right)$ sao cho tiếp diện của $\left( S \right)$ tại $M$ cắt các trục $Ox,Oy$ lần lượt tại các điểm $A\left( a;0;0 \right)$, $B\left( 0;b;0 \right)$ mà $a,b$ là các số nguyên dương và $\widehat{AMB}=90{}^\circ $ ?
A. $4$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $2$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;3;1 \right)$ và bán kính $R=1=IM$.
Gọi $K$ là trung điểm của $AB\Rightarrow K\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2};0 \right)$, khi đó $KA=KB=KM$
Ta có $MK=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{2}\Rightarrow M{{K}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{4}$ ; $I{{K}^{2}}={{\left( \dfrac{a}{2}-2 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{2}-3 \right)}^{2}}+1$.
Tam giác $IMK$ vuông tại $M$, suy ra $I{{M}^{2}}+M{{K}^{2}}=I{{K}^{2}}$
$\Leftrightarrow 1+\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{4}={{\left( \dfrac{a}{2}-2 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{2}-3 \right)}^{2}}+1\Leftrightarrow 2a+3b=13$
Vì $a,b$ nguyên dương và $2a+3b=13$ suy ra $\left[ \begin{aligned}
& a=5,b=1 \\
& a=2,b=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Thử lại thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu.
A. $4$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $2$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;3;1 \right)$ và bán kính $R=1=IM$.
Gọi $K$ là trung điểm của $AB\Rightarrow K\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2};0 \right)$, khi đó $KA=KB=KM$
Ta có $MK=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{2}\Rightarrow M{{K}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{4}$ ; $I{{K}^{2}}={{\left( \dfrac{a}{2}-2 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{2}-3 \right)}^{2}}+1$.
Tam giác $IMK$ vuông tại $M$, suy ra $I{{M}^{2}}+M{{K}^{2}}=I{{K}^{2}}$
$\Leftrightarrow 1+\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{4}={{\left( \dfrac{a}{2}-2 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{2}-3 \right)}^{2}}+1\Leftrightarrow 2a+3b=13$
Vì $a,b$ nguyên dương và $2a+3b=13$ suy ra $\left[ \begin{aligned}
& a=5,b=1 \\
& a=2,b=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Thử lại thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu.
Đáp án D.