Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}~=27$, mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( 2;0;0 \right)$ và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ sao cho khối nón có đỉnh là tâm của $\left( S \right)$ và đáy là đường tròn $\left( C \right)$ có thể tích lớn nhất. Biết rằng mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình dạng $ax+by-z-4=0.$ Khi đó $a+b$ bằng:
A. 5
B. 4
C. $-4$
D. 0
Phương pháp:
Thể tích của khối nó có đường cao hvà bán kính đáy rlà $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$
Cách giải:
Mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{~2}}=27$ có tâm $I\left( 1;-2;3 \right)$ và bán kính $R=3\sqrt{3}$
Mặt phẳng $\left( P \right):ax+by-z-4=0$ đi qua $A\left( 2;0;0 \right)\Rightarrow 2a-4=0\Leftrightarrow a=2$
$\Rightarrow \left( P \right):2x+by-z-4=0.$
Gọi Olà hình chiếu của Itrên $\left( P \right).$
Đặt $OI=x\left( 0<x<3\sqrt{3} \right)$
Khi đó ta có: $r=OB=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}=\sqrt{27-{{x}^{2}}}$
$\Rightarrow {{V}_{non}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi .\left( 27-{{x}^{2}} \right)x$
Xét hàm số $y=\left( 27-{{x}^{2}} \right)x=27x-{{x}^{3}}$ trong $\left( 0;33 \right)$ ta có:
$\begin{aligned}
& y'=27-3{{x}^{2}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 27-3{{x}^{2}}=0 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}=9\Leftrightarrow x=3\left( do x\in \left( 0;3\sqrt{3} \right) \right) \\
& \Rightarrow \underset{\left( 0;3\sqrt{3} \right)}{\mathop{Max}} y=y\left( 3 \right)=54 \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow OI=3=d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.1+b\left( -2 \right)-3-4 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 9\left( {{b}^{2}}+5 \right)={{\left( 2b+5 \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow 9{{b}^{2}}+45=4{{b}^{2}}+20b+25 \\
& \Leftrightarrow 5{{b}^{2}}-20b+20=0 \\
& \Leftrightarrow b=2 \\
& \Rightarrow a+b=2+2=4 \\
\end{aligned}$
A. 5
B. 4
C. $-4$
D. 0
Phương pháp:
Thể tích của khối nó có đường cao hvà bán kính đáy rlà $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$
Cách giải:
Mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{~2}}=27$ có tâm $I\left( 1;-2;3 \right)$ và bán kính $R=3\sqrt{3}$
Mặt phẳng $\left( P \right):ax+by-z-4=0$ đi qua $A\left( 2;0;0 \right)\Rightarrow 2a-4=0\Leftrightarrow a=2$
$\Rightarrow \left( P \right):2x+by-z-4=0.$
Gọi Olà hình chiếu của Itrên $\left( P \right).$
Đặt $OI=x\left( 0<x<3\sqrt{3} \right)$
Khi đó ta có: $r=OB=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}=\sqrt{27-{{x}^{2}}}$
$\Rightarrow {{V}_{non}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi .\left( 27-{{x}^{2}} \right)x$
Xét hàm số $y=\left( 27-{{x}^{2}} \right)x=27x-{{x}^{3}}$ trong $\left( 0;33 \right)$ ta có:
$\begin{aligned}
& y'=27-3{{x}^{2}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 27-3{{x}^{2}}=0 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}=9\Leftrightarrow x=3\left( do x\in \left( 0;3\sqrt{3} \right) \right) \\
& \Rightarrow \underset{\left( 0;3\sqrt{3} \right)}{\mathop{Max}} y=y\left( 3 \right)=54 \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow OI=3=d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.1+b\left( -2 \right)-3-4 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 9\left( {{b}^{2}}+5 \right)={{\left( 2b+5 \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow 9{{b}^{2}}+45=4{{b}^{2}}+20b+25 \\
& \Leftrightarrow 5{{b}^{2}}-20b+20=0 \\
& \Leftrightarrow b=2 \\
& \Rightarrow a+b=2+2=4 \\
\end{aligned}$
Đáp án B.