Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $AB,$ với điểm $A\left( 2;1;3 \right)$ và $B\left( 6;5;5 \right).$ Xét khối trụ $\left( T \right)$ có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$ và có trục nằm trên đường thẳng $AB.$ Khi $\left( T \right)$ có thể tích lớn nhất thì hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đáy của $\left( T \right)$ có phương trình dạng $2x+by+cz+{{d}_{1}}=0$ và $2x+by+cz+{{d}_{2}}=0,\left( {{d}_{1}}<{{d}_{2}} \right).$ Có bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng $\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)?$
A. 11
B. 17
C. 15
D. 13
A. 11
B. 17
C. 15
D. 13
Cách giải:
Ta có $AB=6\Rightarrow $ Mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R=3$ và tâm $I\left( 4;3;4 \right).$
$\Rightarrow $ Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là: $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{9-{{h}^{2}}}.$
$\Rightarrow $ Thể tích khối trụ là: ${{V}_{tru}}=\pi {{r}^{2}}h=\pi h\left( 9-{{h}^{2}} \right)=\pi \left( -{{h}^{3}}+9h \right).$
$\Rightarrow {{V}_{max}}=6\pi \sqrt{3}\Leftrightarrow h=\sqrt{3}.$
$\Rightarrow d\left( O;\left( P \right) \right)=\sqrt{3}$
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 4;4;2 \right)=2\left( 2;2;1 \right).$
$\Rightarrow $ Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vecto pháp tuyến là $\left( 2;2;1 \right).$
$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng: $\left( P \right):2x+2y+z+d=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=2 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right..$
Ta có
$d\left( O;\left( P \right) \right)=\sqrt{3}\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2.4+2.3+4+d \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \left| d+18 \right|=3\sqrt{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{d}_{1}}=3\sqrt{3}-18 \\
& {{d}_{2}}=-3\sqrt{3}-18 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\left( -3\sqrt{3}-18;3\sqrt{3}-18 \right)$
Vậy có 1 số nguyên thuộc $\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right).$
Ta có $AB=6\Rightarrow $ Mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R=3$ và tâm $I\left( 4;3;4 \right).$
$\Rightarrow $ Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là: $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{9-{{h}^{2}}}.$
$\Rightarrow $ Thể tích khối trụ là: ${{V}_{tru}}=\pi {{r}^{2}}h=\pi h\left( 9-{{h}^{2}} \right)=\pi \left( -{{h}^{3}}+9h \right).$
$\Rightarrow {{V}_{max}}=6\pi \sqrt{3}\Leftrightarrow h=\sqrt{3}.$
$\Rightarrow d\left( O;\left( P \right) \right)=\sqrt{3}$
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 4;4;2 \right)=2\left( 2;2;1 \right).$
$\Rightarrow $ Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vecto pháp tuyến là $\left( 2;2;1 \right).$
$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng: $\left( P \right):2x+2y+z+d=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=2 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right..$
Ta có
$d\left( O;\left( P \right) \right)=\sqrt{3}\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2.4+2.3+4+d \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \left| d+18 \right|=3\sqrt{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{d}_{1}}=3\sqrt{3}-18 \\
& {{d}_{2}}=-3\sqrt{3}-18 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\left( -3\sqrt{3}-18;3\sqrt{3}-18 \right)$
Vậy có 1 số nguyên thuộc $\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right).$
Đáp án A.