Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 9;3;1 \right)$ bán kính bằng $3$. Gọi $M, N$ là hai điểm lần lượt thuộc hai trục $Ox, Oz$ sao cho đường thẳng $MN$ tiếp xúc với mặt cấu $\left( S \right)$, đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OIMN$ có bán kính bằng $\dfrac{13}{2}$. Gọi $A$ là tiếp điểm của $MN$ với mặt cầu $\left( S \right)$, giá trị của $AM.AN$ bằng?
A. $12\sqrt{3}$.
B. $18$.
C. $28\sqrt{3}$.
D. $39$.
A. $12\sqrt{3}$.
B. $18$.
C. $28\sqrt{3}$.
D. $39$.
Cách 1:
Gọi $M\left( a;0;0 \right)\in Ox, N\left( 0;0;b \right)\in Oz$.
Ta có $d\left( I;\left( Oxy \right) \right)=3=R$ nên $\left( S \right)$ tiếp xúc với mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ tại điểm $A\left( 9;0;1 \right)$ và $MN$ cũng đi qua $A$.
Lại có $\overrightarrow{AM}=\left( a-9;0;-1 \right), \overrightarrow{AN}=\left( -9;0;b-1 \right)$ và 3 điểm $A,M,N$ thẳng hàng nên ta được: $\dfrac{a-9}{-9}=\dfrac{-1}{b-1}\Leftrightarrow \left( a-9 \right)\left( b-1 \right)=9 \left( 1 \right)$.
Tứ diện $OIMN$ có $IA\bot \left( OMN \right)$ và $\Delta OMN$ vuông tại $O$ nên nếu gọi $J$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OIMN$ thì $J\in \left( IMN \right)$.
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OIMN$ bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta IMN$.
Ta có ${{S}_{\Delta IMN}}=\dfrac{IM.IN.MN}{4r}$ (với $r=\dfrac{13}{2}$ bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta IMN$ ).
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}IA.MN=\dfrac{IM.IN.MN}{4.\dfrac{13}{2}}\Leftrightarrow IM.IN=13IA\Leftrightarrow IM.IN=39$
$\Leftrightarrow \left[ {{\left( a-9 \right)}^{2}}+10 \right]\left[ {{\left( b-1 \right)}^{2}}+90 \right]=1521 \left( 2 \right)$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& m=a-9 \\
& n=b-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Từ (1|) và (2) ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& mn=9 \\
& \left( {{m}^{2}}+10 \right)\left( {{n}^{2}}+90 \right)=1521 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& n=\dfrac{9}{m} \left( 3 \right) \\
& \left( {{m}^{2}}+10 \right)\left( \dfrac{81}{{{m}^{2}}}+90 \right)=1521 \left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Từ (4) ta được: $\left( {{m}^{2}}+10 \right)\left( 81+90{{m}^{2}} \right)=1521{{m}^{2}}$
$\Leftrightarrow 90{{m}^{4}}-540{{m}^{2}}+810=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}=3\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& m=\sqrt{3} \\
& m=-\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=3\sqrt{3} \\
& n=-3\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $\left[ \begin{aligned}
& a=9+\sqrt{3}, b=1+3\sqrt{3} \\
& a=9-\sqrt{3}, b=1-3\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ AM.AN=12\sqrt{3}$.
Cách 2:
Gọi $M\left( m;0;0 \right)\in Ox; N\left( 0;0;n \right)\in Oz$ với $m, n>0$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AM}=\left( m-9;0;-1 \right) \\
& \overrightarrow{AN}=\left( -9;0;n-1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Nhận thấy mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 9;3;1 \right)$ bán kính bằng $3$ luôn tiếp xúc mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ tại điểm $A\left( 9;0;1 \right)$.
Do ba điểm $A, M, N$ thẳng hàng nên hai vectơ $\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AN}$ cùng phương nhưng ngược hướng nên tồn tại số thực $k<0$ sao cho $\overrightarrow{AM}=k.\overrightarrow{AN}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m-9=-9k \\
& -1=k\left( n-1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m-9=-9k \\
& n-1=-\dfrac{1}{k} \\
\end{aligned} \right. \left( 1 \right)$
Suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AM}=\left( m-9;0;-1 \right)=\left( -9k;0;-1 \right) \\
& \overrightarrow{AN}=\left( 9;0;1-n \right)=\left( -9;0;-\dfrac{1}{k} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện $OIMN$ là $\left( S' \right)$ có dạng:
$\left( S' \right)$ : ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$, bán kính: $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}$.
Ta có:
$O\left( 0;0;0 \right)\in \left( S' \right)\Rightarrow d=0$ nên $\left( S' \right)$ có dạng: $\left( S' \right)$ : ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz=0$.
$M\left( m;0;0 \right)\in \left( S' \right)\Rightarrow {{m}^{2}}-2am=0\Leftrightarrow a=\dfrac{m}{2}=\dfrac{9-9k}{2}$ (do (1)).
$N\left( 0;0;n \right)\in \left( S' \right)\Rightarrow {{n}^{2}}-2cn=0\Leftrightarrow c=\dfrac{n}{2}=\dfrac{k-1}{2k}$ (do (1)).
$I\left( 9;3;1 \right)\in \left( S' \right)\Rightarrow 91-18a-6b-2c=0\Rightarrow b=\dfrac{91-18a-2c}{6}=\dfrac{81{{k}^{2}}+9k+1}{6k}$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện $OIMN$ bằng:
$R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=\sqrt{{{\left( \dfrac{9-9k}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{k-1}{2k} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{81{{k}^{2}}+9k+1}{6k} \right)}^{2}}}=\dfrac{13}{2}$.
Bình phương và quy đồng sẽ thu đucợ phương trình bậc bốn, sau đó casio giải phương trình cho ta nghiệm $k=-0;1924500926$ (Do $k<0)$.
Khi đó:
$AM=\sqrt{{{\left( -9k \right)}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( 1 \right)}^{2}}}=2,000000022$ và $AN=\sqrt{{{9}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}}}=10,39230481$
Vậy: $AM.AN=20,78460985$.
Ta có $d\left( I;\left( Oxy \right) \right)=3=R$ nên $\left( S \right)$ tiếp xúc với mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ tại điểm $A\left( 9;0;1 \right)$ và $MN$ cũng đi qua $A$.
Lại có $\overrightarrow{AM}=\left( a-9;0;-1 \right), \overrightarrow{AN}=\left( -9;0;b-1 \right)$ và 3 điểm $A,M,N$ thẳng hàng nên ta được: $\dfrac{a-9}{-9}=\dfrac{-1}{b-1}\Leftrightarrow \left( a-9 \right)\left( b-1 \right)=9 \left( 1 \right)$.
Tứ diện $OIMN$ có $IA\bot \left( OMN \right)$ và $\Delta OMN$ vuông tại $O$ nên nếu gọi $J$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OIMN$ thì $J\in \left( IMN \right)$.
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OIMN$ bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta IMN$.
Ta có ${{S}_{\Delta IMN}}=\dfrac{IM.IN.MN}{4r}$ (với $r=\dfrac{13}{2}$ bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta IMN$ ).
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}IA.MN=\dfrac{IM.IN.MN}{4.\dfrac{13}{2}}\Leftrightarrow IM.IN=13IA\Leftrightarrow IM.IN=39$
$\Leftrightarrow \left[ {{\left( a-9 \right)}^{2}}+10 \right]\left[ {{\left( b-1 \right)}^{2}}+90 \right]=1521 \left( 2 \right)$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& m=a-9 \\
& n=b-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Từ (1|) và (2) ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& mn=9 \\
& \left( {{m}^{2}}+10 \right)\left( {{n}^{2}}+90 \right)=1521 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& n=\dfrac{9}{m} \left( 3 \right) \\
& \left( {{m}^{2}}+10 \right)\left( \dfrac{81}{{{m}^{2}}}+90 \right)=1521 \left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Từ (4) ta được: $\left( {{m}^{2}}+10 \right)\left( 81+90{{m}^{2}} \right)=1521{{m}^{2}}$
$\Leftrightarrow 90{{m}^{4}}-540{{m}^{2}}+810=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}=3\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& m=\sqrt{3} \\
& m=-\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=3\sqrt{3} \\
& n=-3\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $\left[ \begin{aligned}
& a=9+\sqrt{3}, b=1+3\sqrt{3} \\
& a=9-\sqrt{3}, b=1-3\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ AM.AN=12\sqrt{3}$.
Cách 2:
& \overrightarrow{AM}=\left( m-9;0;-1 \right) \\
& \overrightarrow{AN}=\left( -9;0;n-1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Nhận thấy mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 9;3;1 \right)$ bán kính bằng $3$ luôn tiếp xúc mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ tại điểm $A\left( 9;0;1 \right)$.
Do ba điểm $A, M, N$ thẳng hàng nên hai vectơ $\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AN}$ cùng phương nhưng ngược hướng nên tồn tại số thực $k<0$ sao cho $\overrightarrow{AM}=k.\overrightarrow{AN}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m-9=-9k \\
& -1=k\left( n-1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m-9=-9k \\
& n-1=-\dfrac{1}{k} \\
\end{aligned} \right. \left( 1 \right)$
Suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AM}=\left( m-9;0;-1 \right)=\left( -9k;0;-1 \right) \\
& \overrightarrow{AN}=\left( 9;0;1-n \right)=\left( -9;0;-\dfrac{1}{k} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện $OIMN$ là $\left( S' \right)$ có dạng:
$\left( S' \right)$ : ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$, bán kính: $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}$.
Ta có:
$O\left( 0;0;0 \right)\in \left( S' \right)\Rightarrow d=0$ nên $\left( S' \right)$ có dạng: $\left( S' \right)$ : ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz=0$.
$M\left( m;0;0 \right)\in \left( S' \right)\Rightarrow {{m}^{2}}-2am=0\Leftrightarrow a=\dfrac{m}{2}=\dfrac{9-9k}{2}$ (do (1)).
$N\left( 0;0;n \right)\in \left( S' \right)\Rightarrow {{n}^{2}}-2cn=0\Leftrightarrow c=\dfrac{n}{2}=\dfrac{k-1}{2k}$ (do (1)).
$I\left( 9;3;1 \right)\in \left( S' \right)\Rightarrow 91-18a-6b-2c=0\Rightarrow b=\dfrac{91-18a-2c}{6}=\dfrac{81{{k}^{2}}+9k+1}{6k}$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện $OIMN$ bằng:
$R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=\sqrt{{{\left( \dfrac{9-9k}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{k-1}{2k} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{81{{k}^{2}}+9k+1}{6k} \right)}^{2}}}=\dfrac{13}{2}$.
Bình phương và quy đồng sẽ thu đucợ phương trình bậc bốn, sau đó casio giải phương trình cho ta nghiệm $k=-0;1924500926$ (Do $k<0)$.
Khi đó:
$AM=\sqrt{{{\left( -9k \right)}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( 1 \right)}^{2}}}=2,000000022$ và $AN=\sqrt{{{9}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}}}=10,39230481$
Vậy: $AM.AN=20,78460985$.
Đáp án A.