Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ có ${{A}_{1}}\left( \sqrt{3};-1;1 \right)$, hai đỉnh $B,C$ thuộc trục $Oz$ và $A{{A}_{1}}=1$,( $C$ không trùng với $O$ ). Biết $\overrightarrow{u}=\left( a;b;1 \right)$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng ${{A}_{1}}C$. Giá trị của ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ bằng
A. $16$.
B. $5$.
C. $9$.
D. $4$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$ nên $AM\bot BC$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& A{{A}_{1}}\bot BC \\
& AM\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( A{{A}_{1}}M \right)$.
Mặt phẳng $\left( {{A}_{1}}AM \right)$ đi qua ${{A}_{1}}$ và nhận $\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right)$ làm VTPT nên $\left( {{A}_{1}}AM \right):z-1=0$.
Mà $M=\left( {{A}_{1}}AM \right)\cap Oz$ nên $M\left( 0;0;1 \right)\Rightarrow {{A}_{1}}M=2$.
Trong $\Delta {{A}_{1}}AM$ có $AM=\sqrt{{{A}_{1}}{{M}^{2}}-A{{A}_{1}}^{2}}=\sqrt{3}$.
Ta có $\Delta ABC$ đều nên $AM=\dfrac{BC\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BC=\dfrac{2AM}{\sqrt{3}}=2$.
Gọi $B\left( 0;0;m \right)$ mà $M$ là trung điểm $BC$ nên $C\left( 0;0;2-m \right)$.
Có $BC=\left| 2-2m \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B\left( 0;0;0 \right),C\left( 0;0;2 \right) $,( vì $ C $ không trùng với $ O$ ).
Do đó $\overrightarrow{{{A}_{1}}C}=\left( -\sqrt{3};1;1 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\sqrt{3} \\
& b=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4$.
A. $16$.
B. $5$.
C. $9$.
D. $4$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& A{{A}_{1}}\bot BC \\
& AM\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( A{{A}_{1}}M \right)$.
Mặt phẳng $\left( {{A}_{1}}AM \right)$ đi qua ${{A}_{1}}$ và nhận $\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right)$ làm VTPT nên $\left( {{A}_{1}}AM \right):z-1=0$.
Mà $M=\left( {{A}_{1}}AM \right)\cap Oz$ nên $M\left( 0;0;1 \right)\Rightarrow {{A}_{1}}M=2$.
Trong $\Delta {{A}_{1}}AM$ có $AM=\sqrt{{{A}_{1}}{{M}^{2}}-A{{A}_{1}}^{2}}=\sqrt{3}$.
Ta có $\Delta ABC$ đều nên $AM=\dfrac{BC\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BC=\dfrac{2AM}{\sqrt{3}}=2$.
Gọi $B\left( 0;0;m \right)$ mà $M$ là trung điểm $BC$ nên $C\left( 0;0;2-m \right)$.
Có $BC=\left| 2-2m \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B\left( 0;0;0 \right),C\left( 0;0;2 \right) $,( vì $ C $ không trùng với $ O$ ).
Do đó $\overrightarrow{{{A}_{1}}C}=\left( -\sqrt{3};1;1 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\sqrt{3} \\
& b=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4$.
Đáp án D.