Trong không gian $O x y z$ cho hình chóp $S . A B C$ có $S (2; 3; 1)$ và $G (- 1; 2; 0)$ là trọng tâm tam giác $A B C .$ Gọi $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ ...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Trong không gian

O x y z

cho hình chóp

S . A B C

có

S (2; 3; 1)

và

G (- 1; 2; 0)

là trọng tâm tam giác

A B C .

Gọi

A^{'}, B^{'}, C^{'}

lần lượt là các điểm thuộc các cạnh

S A, S B, S C

sao cho

\frac{S A^{'}}{S A} = \frac{1}{3}; \frac{S B^{'}}{S B} = \frac{1}{4}; \frac{S C^{'}}{S C} = \frac{1}{5} .

Mặt phẳng

(A^{'} B^{'} C^{'})

cắt

S G

tại

G^{'} .

Giả sử

G^{'} (a; b; c)

. Giá trị của biểu thức

a + b + c

bằng
A.

\frac{19}{4}

.
B.

\frac{29}{4} .

.
C. 1.
D.

- 14.

Ta có

\vec{S A^{'}} = \frac{1}{3} \vec{S A}; \vec{S B^{'}} = \frac{1}{4} \vec{S B}; \vec{S C^{'}} = \frac{1}{5} \vec{S C}; \vec{S G^{'}} = k \vec{S G} .

Bốn điểm

A^{'}, B^{'}, C^{'}, G^{'}

đồng phẳng nên với mọi điểm

S

ta có

\vec{S G^{'}} = x \vec{S A^{'}} + y \vec{S B^{'}} + z \vec{S C^{'}} (1)

với

x + y + z = 1.

(1) \Leftrightarrow k \vec{S G} = \frac{x}{3} \vec{S A} + \frac{y}{4} \vec{S B} + \frac{z}{5} \vec{S C},

mặt khác

\vec{S G} = \frac{1}{3} (\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C}) .

Vì

\vec{S A}, \vec{S B}, \vec{S C}

không đồng phẳng nên

{\begin{aligned} \frac{k}{3} = \frac{x}{3} \\ \frac{k}{3} = \frac{y}{4} \\ \frac{k}{3} = \frac{z}{5} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x = k \\ y = \frac{4}{3} k \\ z = \frac{5}{3} k \end{aligned}; x + y + z = 1 \Leftrightarrow k + \frac{4}{3} k + \frac{5}{3} k = 1 \Leftrightarrow k = \frac{1}{4} .

Vậy

\vec{S G^{'}} = \frac{1}{4} \vec{S G} = \frac{1}{4} (- 3; - 1; - 1) \Leftrightarrow {\begin{aligned} a - 2 = \frac{- 3}{4} \\ b - 3 = \frac{- 1}{4} \\ c - 1 = \frac{- 1}{4} \end{aligned} \Rightarrow a + b + c = 6 - \frac{5}{4} = \frac{19}{4} .

Đáp án A.

Trong không gian Oxyz cho hình chóp S.ABC có S(2;3;1) và G(−1;2;0) là trọng tâm tam giác ABC. Gọi A′,B′,C′...