Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho hình chóp $S.ABC$ có $S\left( 2;3;1 \right)$ và $G\left( -1;2;0 \right)$ là trọng tâm tam giác $ABC.$ Gọi $A',B',C'$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $SA,SB,SC$ sao cho $\dfrac{SA'}{SA}=\dfrac{1}{3};\dfrac{SB'}{SB}=\dfrac{1}{4};\dfrac{SC'}{SC}=\dfrac{1}{5}.$ Mặt phẳng $\left( A'B'C' \right)$ cắt $SG$ tại $G'.$ Giả sử $G'\left( a;b;c \right)$. Giá trị của biểu thức $a+b+c$ bằng
A. $\dfrac{19}{4}$.
B. $\dfrac{29}{4}.$.
C. 1.
D. $-14.$
Ta có $\overrightarrow{SA'}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{SA};\overrightarrow{SB'}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SC'}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{SC};\overrightarrow{SG'}=k\overrightarrow{SG}.$
Bốn điểm $A',B',C',G'$ đồng phẳng nên với mọi điểm $S$ ta có $\overrightarrow{SG'}=x\overrightarrow{SA'}+y\overrightarrow{SB'}+z\overrightarrow{SC'}\left( 1 \right)$ với $x+y+z=1.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow k\overrightarrow{SG}=\dfrac{x}{3}\overrightarrow{SA}+\dfrac{y}{4}\overrightarrow{SB}+\dfrac{z}{5}\overrightarrow{SC},$ mặt khác $\overrightarrow{SG}=\dfrac{1}{3}\left( \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC} \right).$ Vì $\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}$ không đồng phẳng nên $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{k}{3}=\dfrac{x}{3} \\
& \dfrac{k}{3}=\dfrac{y}{4} \\
& \dfrac{k}{3}=\dfrac{z}{5} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=k \\
& y=\dfrac{4}{3}k \\
& z=\dfrac{5}{3}k \\
\end{aligned} \right.;x+y+z=1\Leftrightarrow k+\dfrac{4}{3}k+\dfrac{5}{3}k=1\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{4}.$
Vậy $\overrightarrow{SG'}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{SG}=\dfrac{1}{4}\left( -3;-1;-1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a-2=\dfrac{-3}{4} \\
& b-3=\dfrac{-1}{4} \\
& c-1=\dfrac{-1}{4} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=6-\dfrac{5}{4}=\dfrac{19}{4}.$
A. $\dfrac{19}{4}$.
B. $\dfrac{29}{4}.$.
C. 1.
D. $-14.$
Ta có $\overrightarrow{SA'}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{SA};\overrightarrow{SB'}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SC'}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{SC};\overrightarrow{SG'}=k\overrightarrow{SG}.$
Bốn điểm $A',B',C',G'$ đồng phẳng nên với mọi điểm $S$ ta có $\overrightarrow{SG'}=x\overrightarrow{SA'}+y\overrightarrow{SB'}+z\overrightarrow{SC'}\left( 1 \right)$ với $x+y+z=1.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow k\overrightarrow{SG}=\dfrac{x}{3}\overrightarrow{SA}+\dfrac{y}{4}\overrightarrow{SB}+\dfrac{z}{5}\overrightarrow{SC},$ mặt khác $\overrightarrow{SG}=\dfrac{1}{3}\left( \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC} \right).$ Vì $\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}$ không đồng phẳng nên $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{k}{3}=\dfrac{x}{3} \\
& \dfrac{k}{3}=\dfrac{y}{4} \\
& \dfrac{k}{3}=\dfrac{z}{5} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=k \\
& y=\dfrac{4}{3}k \\
& z=\dfrac{5}{3}k \\
\end{aligned} \right.;x+y+z=1\Leftrightarrow k+\dfrac{4}{3}k+\dfrac{5}{3}k=1\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{4}.$
Vậy $\overrightarrow{SG'}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{SG}=\dfrac{1}{4}\left( -3;-1;-1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a-2=\dfrac{-3}{4} \\
& b-3=\dfrac{-1}{4} \\
& c-1=\dfrac{-1}{4} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=6-\dfrac{5}{4}=\dfrac{19}{4}.$
Đáp án A.