Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{-1}$ và ${{d}_{2}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z-2}{-2}$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng song song với mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-7=0$ và cắt ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}$ lần lượt tại hai điểm $A, B$ sao cho $AB$ ngắn nhất. phương trình của đường thẳng $\Delta $ là
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=12-t \\
& y=5 \\
& z=-9+t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=5-t \\
& y=\dfrac{5}{2} \\
& z=-\dfrac{7}{2}+t \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=6 \\
& y=\dfrac{5}{2}-t \\
& z=-\dfrac{9}{2}+t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $\left\{\begin{array}{l}x=6-2 t \\ y=\dfrac{5}{2}+t \\ z=-\dfrac{9}{2}+t\end{array}\right.$
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=12-t \\
& y=5 \\
& z=-9+t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=5-t \\
& y=\dfrac{5}{2} \\
& z=-\dfrac{7}{2}+t \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=6 \\
& y=\dfrac{5}{2}-t \\
& z=-\dfrac{9}{2}+t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $\left\{\begin{array}{l}x=6-2 t \\ y=\dfrac{5}{2}+t \\ z=-\dfrac{9}{2}+t\end{array}\right.$
$A\in {{d}_{1}}$ $\Rightarrow A\left( 2a+1 ; a ; -a-2 \right)$ ; $B\in {{d}_{2}}$ $\Rightarrow B\left( b+1 ; 3b-2 ; 2-2b \right)$ $A\in {{d}_{1}}$ $\Rightarrow \overrightarrow{BA}\left( 2a-b ; a-3b+2 ; -a+2b-4 \right)$
$\Delta \text{//}\left( P \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=0 \\
& A\notin \left( P \right) \left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow 2a-b+a-3b+2-a+2b-4=0 $ $ \Leftrightarrow b=a-1 $ $ \Rightarrow \overrightarrow{BA}\left( a+1 ; -2a+5 ; a-6 \right) $ $ \Rightarrow AB=\sqrt{6{{a}^{2}}-30a+62}=\sqrt{6{{\left( a-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{49}{2}}\ge \dfrac{7}{\sqrt{2}}$.
$AB=\dfrac{7}{\sqrt{2}}$ $\Leftrightarrow a=\dfrac{5}{2}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{BA}\left( \dfrac{7}{2} ; 0 ; -\dfrac{7}{2} \right) \\
& A\left( 6 ; \dfrac{5}{2} ; -\dfrac{9}{2} \right) \left( tm\left( 1 \right) \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $AB$ ngắn nhất khi $\Delta $ đi qua $A\left( 6 ; \dfrac{5}{2} ; -\dfrac{9}{2} \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\dfrac{2}{7}\overrightarrow{BA}=\left( 1 ; 0 ; -1 \right)$.
$\Delta \text{//}\left( P \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=0 \\
& A\notin \left( P \right) \left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow 2a-b+a-3b+2-a+2b-4=0 $ $ \Leftrightarrow b=a-1 $ $ \Rightarrow \overrightarrow{BA}\left( a+1 ; -2a+5 ; a-6 \right) $ $ \Rightarrow AB=\sqrt{6{{a}^{2}}-30a+62}=\sqrt{6{{\left( a-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{49}{2}}\ge \dfrac{7}{\sqrt{2}}$.
$AB=\dfrac{7}{\sqrt{2}}$ $\Leftrightarrow a=\dfrac{5}{2}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{BA}\left( \dfrac{7}{2} ; 0 ; -\dfrac{7}{2} \right) \\
& A\left( 6 ; \dfrac{5}{2} ; -\dfrac{9}{2} \right) \left( tm\left( 1 \right) \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $AB$ ngắn nhất khi $\Delta $ đi qua $A\left( 6 ; \dfrac{5}{2} ; -\dfrac{9}{2} \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\dfrac{2}{7}\overrightarrow{BA}=\left( 1 ; 0 ; -1 \right)$.
Đáp án B.