Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t \\ y=2-t \\ z=t\end{array}\right.$, $ {d}':\left\{ \begin{aligned}
& x=2{t}' \\
& y=1+{t}' \\
& z=2+{t}' \\
\end{aligned} \right. $. Đường thẳng $ \Delta $ cắt $ d $, $ {d}' $ lần lượt tại các điểm $ A $, $ B $ thỏa mãn độ dài đoạn thẳng $ AB $ nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng $ \Delta $ là
A. $\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{3}$.
B. $\dfrac{x-4}{-2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-2}{3}$.
C. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z+1}{-3}$.
D. $\dfrac{x-2}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{3}$.
& x=2{t}' \\
& y=1+{t}' \\
& z=2+{t}' \\
\end{aligned} \right. $. Đường thẳng $ \Delta $ cắt $ d $, $ {d}' $ lần lượt tại các điểm $ A $, $ B $ thỏa mãn độ dài đoạn thẳng $ AB $ nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng $ \Delta $ là
A. $\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{3}$.
B. $\dfrac{x-4}{-2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-2}{3}$.
C. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z+1}{-3}$.
D. $\dfrac{x-2}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{3}$.
$\Delta \cap d=A\left( 1+t;2-t;t \right)$, $\Delta \cap d=B\left( 2{t}';1+{t}';2+{t}' \right)$.
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0 \\
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}'}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{t}'-t-1-{t}'-t+1+{t}'-t+2=0 \\
& 4{t}'-2t-2+{t}'+t-1+{t}'-t+2=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{t}'-3t=-2 \\
& 6{t}'-2t=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {t}'=\dfrac{1}{2} \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $A\left( 2;1;1 \right)$, $\overrightarrow{AB}=\left( -1;\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)$
$AB$ ngắn nhất suy ra $AB$ là đoạn vuông góc chung của $d$, ${d}'$.
Vậy $\Delta $ đi qua $A\left( 2;1;1 \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}=\left( -2;1;3 \right)$ $\Rightarrow \Delta :\dfrac{x-2}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{3}$ .
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0 \\
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}'}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{t}'-t-1-{t}'-t+1+{t}'-t+2=0 \\
& 4{t}'-2t-2+{t}'+t-1+{t}'-t+2=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{t}'-3t=-2 \\
& 6{t}'-2t=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {t}'=\dfrac{1}{2} \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $A\left( 2;1;1 \right)$, $\overrightarrow{AB}=\left( -1;\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)$
$AB$ ngắn nhất suy ra $AB$ là đoạn vuông góc chung của $d$, ${d}'$.
Vậy $\Delta $ đi qua $A\left( 2;1;1 \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}=\left( -2;1;3 \right)$ $\Rightarrow \Delta :\dfrac{x-2}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{3}$ .
Đáp án D.