Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z+1}{3}$ và ${\Delta }':\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-2}{-4}=\dfrac{z+1}{6}$. Mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng trên có phương trình là $3x+by+cz+d=0$. Tính $S=b+c+d$.
A. $S=5$.
B. $S=-19$.
C. $S=-3$.
D. $S=1$.
A. $S=5$.
B. $S=-19$.
C. $S=-3$.
D. $S=1$.
Đường thẳng $\Delta $ đi qua $M\left( 3;1;-1 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=\left( 1;-2;3 \right)$.
Đường thẳng ${\Delta }'$ đi qua ${M}'\left( 0;2;-1 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{{{u}'}}=\left( 2;-4;6 \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{u}'}}=2\overrightarrow{u} \\
& M\in \Delta ,M\notin {\Delta }' \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow $ $ \Delta \text{ // }{\Delta }'$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa cả hai đường thẳng $\Delta $ và ${\Delta }'$ nên $\left( P \right)$ đi qua $M\left( 3;1;-1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{M{M}'} \right]$ làm véc tơ pháp tuyến, với $\overrightarrow{M{M}'}=\left( -3;1;0 \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( -3;-9;-5 \right)=-\left( 3;9;5 \right)$.
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:
$3x+9y+5z-3.3+9.(-1)+5.1=0\Leftrightarrow 3x+9y+5z-13=0$
Vậy $S=b+c+d=9+5-13=1$ nên đáp án D đúng.
Đường thẳng ${\Delta }'$ đi qua ${M}'\left( 0;2;-1 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{{{u}'}}=\left( 2;-4;6 \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{u}'}}=2\overrightarrow{u} \\
& M\in \Delta ,M\notin {\Delta }' \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow $ $ \Delta \text{ // }{\Delta }'$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa cả hai đường thẳng $\Delta $ và ${\Delta }'$ nên $\left( P \right)$ đi qua $M\left( 3;1;-1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{M{M}'} \right]$ làm véc tơ pháp tuyến, với $\overrightarrow{M{M}'}=\left( -3;1;0 \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( -3;-9;-5 \right)=-\left( 3;9;5 \right)$.
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:
$3x+9y+5z-3.3+9.(-1)+5.1=0\Leftrightarrow 3x+9y+5z-13=0$
Vậy $S=b+c+d=9+5-13=1$ nên đáp án D đúng.
Đáp án D.