Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}...

Ta có, phương trình tham số của:
${{d}_{1}}: \left\{ \begin{aligned}
& x=1+2{{t}_{1}} \\
& y=-1+{{t}_{1}} \\
& z={{t}_{1}} \\
\end{aligned} \right.; {{t}_{1}}\in \mathbb{R} $; $ {{d}_{2}}: \left\{ \begin{aligned}
& x=1+{{t}_{2}} \\
& y=2+2{{t}_{2}} \\
& z={{t}_{2}} \\
\end{aligned} \right.; {{t}_{2}}\in \mathbb{R}$.
Theo giả thiết, mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với mp $\left( Q \right): x+y-2z+3=0$ $\Rightarrow \left( P \right): x+y-2z+m=0 \left( m\ne 3 \right)$.
$M={{d}_{1}}\cap \left( P \right)$, suy ra tọa độ điểm $M$ thỏa hệ phương trình ${{d}_{1}}: \left\{ \begin{aligned}
& x=1+2{{t}_{1}} \\
& y=-1+{{t}_{1}} \\
& z={{t}_{1}} \\
& x+y-2z+m=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1-2m \\
& y=-1-m \\
& z=-m \\
& {{t}_{1}}=-m \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( 1-2m ; -1-m;-m \right)$.
$N={{d}_{2}}\cap \left( P \right)$, suy ra tọa độ điểm $N$ thỏa hệ phương trình ${{d}_{2}}: \left\{ \begin{aligned}
& x=1+{{t}_{2}} \\
& y=2+2{{t}_{2}} \\
& z={{t}_{2}} \\
& x+y-2z+m=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-2-m \\
& y=-4-2m \\
& z=-3-m \\
& {{t}_{2}}=-3-m \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow N\left( -2-m ; -4-2m;-3-m \right)$.
$\overrightarrow{MN}=\left( m-3 ; -m-3 ; -3 \right)\Rightarrow \left| \overrightarrow{MN} \right|=\sqrt{2{{m}^{2}}+27}\ge 3\sqrt{3}$.
Giá trị nhỏ nhất của $MN$ bằng $3\sqrt{3}$ khi và chỉ khi $m=0$.