Trong không gian $Oxyz,$ cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{...

Cách giải:
Gọi giao điểm của đường thẳng cần tìm và đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt là $A,B.$
Do $A\in {{d}_{1}}$ nên $A\left( {{t}_{1}};-4+{{t}_{1}}+3-{{t}_{1}} \right)$ và $B\in {{d}_{2}}$ nên $B\left( 1-2{{t}_{2}};-3+{{t}_{2}};4-{{t}_{2}} \right).$
Mặt phẳng $Oxz$ có $\overrightarrow{n}=\left( 0;1;0 \right)$ mà đường thẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng $Oxz$ nên nó có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 0;1;0 \right).$
Ta có: $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{u}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-2{{t}_{2}}-{{t}_{1}}=0 \\
& -3+{{t}_{2}}+4-{{t}_{1}}=k \\
& 4-{{t}_{2}}-3+{{t}_{1}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+2{{t}_{2}}=1 \\
& {{t}_{1}}-{{t}_{2}}+k=1 \\
& {{t}_{1}}-{{t}_{2}}=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=-\dfrac{1}{3} \\
& {{t}_{2}}=\dfrac{2}{3} \\
& k=2 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó: điểm $A\left( -\dfrac{1}{3};-\dfrac{13}{3};\dfrac{10}{3} \right)$ và $B\left( -\dfrac{1}{3};-\dfrac{7}{3};\dfrac{10}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 0;2;0 \right)=2\left( 0;1;0 \right).$
Phương trình đường thẳng qua $B\left( -\dfrac{1}{3};-\dfrac{7}{3};\dfrac{10}{3} \right)$ và nhận $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left( 0;1;0 \right)$ làm vectơ chỉ phương có dạng:
$\left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{1}{3} \\
& y=-\dfrac{7}{3}+t \\
& z=\dfrac{10}{3} \\
\end{aligned} \right.$