Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z}{1},$ ${{d}_{2}}:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y-2z+5=0.$ Phương trình đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ và cắt ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho $AB=3\sqrt{3}$ là
A. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-2}{1}$
B. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+2}{1}$
C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-2}{1}$
D. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-2}{1}$
A. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-2}{1}$
B. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+2}{1}$
C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-2}{1}$
D. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-2}{1}$
Phương pháp:
- Tham số hóa tọa độ điểm $A\in {{d}_{1}}$ theo ẩn $a,$ điểm $B\in {{d}_{1}}$ theo ẩn $b.$ Tính $\overrightarrow{AB}$
- Xác định 1 VTPT $\overrightarrow{n}$ của $mp\left( P \right).$
- Vì $d//\left( P \right)$ nên $\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{n}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0.$ Tìm $a$ theo $b$ hoặc ngược lại.
- Giải phương trình $AB=3\sqrt{3}$ tìm $a,b.$ - Ðua v? Bài toán vi? T phuong trình du? Ng th? Ng di qua 2 di? M.
Cách gi? I:
Vì$\left\{ \begin{aligned}
& A\in {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( -1+a;-2+2a;a \right) \\
& B\in {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 2+2b;1+b;1+b \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -a+2b+3;-2a+b+3;-a+b+1 \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;-2 \right).$
Vì $d//\left( P \right)$ nên $\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{n}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0$
$\Leftrightarrow -a+2b+3-2a+b+3+2a-2b-2=0$
$\Rightarrow b=a-4$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( a-5;-a-1;-3 \right)$
Khi đó ta có: $AB=\sqrt{{{\left( a-5 \right)}^{2}}+{{\left( -a-1 \right)}^{2}}+9}=\sqrt{2{{\left( a-2 \right)}^{2}}+27}\ge 3\sqrt{3}$
Dấu bằng xảy ra khi $a=2\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A\left( 1;2;2 \right) \\
& \overrightarrow{AB}=\left( -3;-3;-3 \right)//\left( 1;1;1 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Vậy phương trình đường thẳng $d$ là $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-2}{1}.$
- Tham số hóa tọa độ điểm $A\in {{d}_{1}}$ theo ẩn $a,$ điểm $B\in {{d}_{1}}$ theo ẩn $b.$ Tính $\overrightarrow{AB}$
- Xác định 1 VTPT $\overrightarrow{n}$ của $mp\left( P \right).$
- Vì $d//\left( P \right)$ nên $\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{n}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0.$ Tìm $a$ theo $b$ hoặc ngược lại.
- Giải phương trình $AB=3\sqrt{3}$ tìm $a,b.$ - Ðua v? Bài toán vi? T phuong trình du? Ng th? Ng di qua 2 di? M.
Cách gi? I:
Vì$\left\{ \begin{aligned}
& A\in {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( -1+a;-2+2a;a \right) \\
& B\in {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 2+2b;1+b;1+b \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -a+2b+3;-2a+b+3;-a+b+1 \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;-2 \right).$
Vì $d//\left( P \right)$ nên $\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{n}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0$
$\Leftrightarrow -a+2b+3-2a+b+3+2a-2b-2=0$
$\Rightarrow b=a-4$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( a-5;-a-1;-3 \right)$
Khi đó ta có: $AB=\sqrt{{{\left( a-5 \right)}^{2}}+{{\left( -a-1 \right)}^{2}}+9}=\sqrt{2{{\left( a-2 \right)}^{2}}+27}\ge 3\sqrt{3}$
Dấu bằng xảy ra khi $a=2\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A\left( 1;2;2 \right) \\
& \overrightarrow{AB}=\left( -3;-3;-3 \right)//\left( 1;1;1 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Vậy phương trình đường thẳng $d$ là $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-2}{1}.$
Đáp án A.