Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( \sqrt{3};1;0 \right),B\left( 0;2;0 \right).M$ là điểm di động trên $Oz.$ Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên $MB$ và $OB.$ Đường thẳng $HK$ cắt trục $Oz$ tại $N.$ Khi đó thể tích của tứ diện $MNAB$ nhỏ nhất thì phương trình mặt phẳng $\left( AHN \right)$ có dạng $ax+by-\sqrt{2}z+c=0.$ Giá trị biểu thức $a+b+c$ bằng:
A. $-1$
B. 5
C. $2\sqrt{2}$
D. 0
A. $-1$
B. 5
C. $2\sqrt{2}$
D. 0
Phương pháp:
- Sử dụng ${{V}_{AMNB}}=\dfrac{1}{3}d\left( A;\left( MNB \right) \right){{S}_{\Delta MNB}},$ chứng minh ${{V}_{AMNB}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì ${{S}_{\Delta MNB}}$ phải đạt giá trị nhỏ nhất.
- Sử dụng: ${{S}_{\Delta MNB}}=\dfrac{1}{2}BO.MN,$ chứng minh ${{S}_{\Delta MNB}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $M{{N}_{\min }}.$
- Chứng minh $\Delta OMB\backsim \Delta OKN,$ từ đó tính $OM.ON$ và áp dụng BĐT Cô-si tìm $M{{N}_{\min }}.$
- Tìm điều kiện để dấu "=" xảy ra, suy ra tọa độ điểm M.
- Chứng minh $MB\bot \left( AHN \right),$ viết phương trình mặt phẳng $\left( AHN \right).$
Cách giải:
Ta có: ${{V}_{AMNB}}=\dfrac{1}{3}d\left( A;\left( MNB \right) \right){{S}_{\Delta MNB}}$.
Ta có $d\left( A;\left( MNP \right) \right)=d\left( A;\left( Oyz \right) \right)=\sqrt{3}$ không đổi nên ${{V}_{AMNB}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì ${{S}_{\Delta MNB}}$ phải đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có: ${{S}_{\Delta MNB}}=\dfrac{1}{2}BO.MN=\dfrac{1}{2}.2.MN=MN$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Rightarrow MN$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& AK\bot OB \\
& AK\bot OM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AK\bot \left( OMB \right)\Rightarrow AK\bot MB$
$\left\{ \begin{aligned}
& MB\bot AK \\
& MB\bot AH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MB\bot \left( AHK \right)\Rightarrow MB\bot HK\Rightarrow MB\bot KN$
Xét $\Delta OMB$ và $\Delta OKN$ có:
$\angle MOB=\angle KON={{90}^{0}}$
$\angle OMB=\angle OKN$ (hai góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc).
$\Rightarrow \Delta OMB\backsim \Delta OKN\left( g.g \right)\Rightarrow \dfrac{OM}{OB}=\dfrac{OK}{ON}\Rightarrow OM.ON=OK.OB=2.1=2.$
Khi đó ta có $MN=OM+ON\ge 2\sqrt{OM.ON}=2\sqrt{2}$ (BĐT Cô-si).
Dấu "=" xảy ra khi $OM=ON=\sqrt{2}\Rightarrow M\left( 0;0;\sqrt{2} \right).$
Khi đó ta có $\overrightarrow{BM}=\left( 0;-2;\sqrt{2} \right)$ là 1 VTPT của $\left( AHN \right).$
$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( AHN \right):-2y+\sqrt{2}z+2=0\Leftrightarrow 2y-\sqrt{2}z-2=0.$
$\Rightarrow a=0,b=2,c=-2.$
Vậy $a+b+c=0.$
- Sử dụng ${{V}_{AMNB}}=\dfrac{1}{3}d\left( A;\left( MNB \right) \right){{S}_{\Delta MNB}},$ chứng minh ${{V}_{AMNB}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì ${{S}_{\Delta MNB}}$ phải đạt giá trị nhỏ nhất.
- Sử dụng: ${{S}_{\Delta MNB}}=\dfrac{1}{2}BO.MN,$ chứng minh ${{S}_{\Delta MNB}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $M{{N}_{\min }}.$
- Chứng minh $\Delta OMB\backsim \Delta OKN,$ từ đó tính $OM.ON$ và áp dụng BĐT Cô-si tìm $M{{N}_{\min }}.$
- Tìm điều kiện để dấu "=" xảy ra, suy ra tọa độ điểm M.
- Chứng minh $MB\bot \left( AHN \right),$ viết phương trình mặt phẳng $\left( AHN \right).$
Cách giải:
Ta có: ${{V}_{AMNB}}=\dfrac{1}{3}d\left( A;\left( MNB \right) \right){{S}_{\Delta MNB}}$.
Ta có $d\left( A;\left( MNP \right) \right)=d\left( A;\left( Oyz \right) \right)=\sqrt{3}$ không đổi nên ${{V}_{AMNB}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì ${{S}_{\Delta MNB}}$ phải đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có: ${{S}_{\Delta MNB}}=\dfrac{1}{2}BO.MN=\dfrac{1}{2}.2.MN=MN$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Rightarrow MN$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& AK\bot OB \\
& AK\bot OM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AK\bot \left( OMB \right)\Rightarrow AK\bot MB$
$\left\{ \begin{aligned}
& MB\bot AK \\
& MB\bot AH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MB\bot \left( AHK \right)\Rightarrow MB\bot HK\Rightarrow MB\bot KN$
Xét $\Delta OMB$ và $\Delta OKN$ có:
$\angle MOB=\angle KON={{90}^{0}}$
$\angle OMB=\angle OKN$ (hai góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc).
$\Rightarrow \Delta OMB\backsim \Delta OKN\left( g.g \right)\Rightarrow \dfrac{OM}{OB}=\dfrac{OK}{ON}\Rightarrow OM.ON=OK.OB=2.1=2.$
Khi đó ta có $MN=OM+ON\ge 2\sqrt{OM.ON}=2\sqrt{2}$ (BĐT Cô-si).
Dấu "=" xảy ra khi $OM=ON=\sqrt{2}\Rightarrow M\left( 0;0;\sqrt{2} \right).$
Khi đó ta có $\overrightarrow{BM}=\left( 0;-2;\sqrt{2} \right)$ là 1 VTPT của $\left( AHN \right).$
$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( AHN \right):-2y+\sqrt{2}z+2=0\Leftrightarrow 2y-\sqrt{2}z-2=0.$
$\Rightarrow a=0,b=2,c=-2.$
Vậy $a+b+c=0.$
Đáp án D.