Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 4;-2;4 \right)$...

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -6;8;0 \right)\Rightarrow AB=10$ và $I\left( 1;2;4 \right)$ là trung điểm của $AB$.
Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu đường kính $AB$. Khi đó $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=25$.
Do tam giác $AMB$ vuông tại $M$ nên $M$ thuộc mặt cầu đường kính $AB$.
Gọi $\left( C \right)$ là đường tròn giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( Oxy \right)$.
Do $M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ nên $M\in \left( C \right)$.
Ta có $\left( C \right):\left\{ \begin{matrix}
I'\left( 1;2;0 \right) \\
r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,\left( Oxy \right) \right)}=3 \\
\end{matrix} \right.$
Do $\left( C \right)\subset \left( Oxy \right)$ và $d\bot \left( Oxy \right)$ nên $MN$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $N=d\cap \left( Oxy \right)$ $\Rightarrow N\left( 5;-1;0 \right)$ $\Rightarrow NI'=5$.
Ta có $MN\ge \left| MI'-I'N \right|=2$.
Đẳng thức xảy ra khi $M,I',N$ thẳng hàng và $M$ nằm giữa $I'$ và $N$.