Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 3;-2;3 \right);B\left( 1;0;5 \right).$ Tìm tọa độ điểm $M\in \left( Oxy \right)$ sao cho $MA+MB$...

Phương pháp:
- Nhận xét: A, B nằm cùng phía đối với $\left( Oxy \right).$
- Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $\left( Oxy \right)\Rightarrow MA=MA'.$
- Áp dụng BĐT tam giác $MA+MB=MA'+MB\ge A'B.$
- Đưa về bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Cách giải:
Dễ thấy A, B nằm cùng phía đối với $\left( Oxy \right).$
Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $\left( Oxy \right)\Rightarrow A'\left( 3;-2;-3 \right).$
Khi đó ta có $MA=MA'\Rightarrow MA+MB=MA'+MB\ge A'B.$
Dấu "=" xảy ra khi $M=A'B\cap \left( Oxy \right).$
Ta có $\overrightarrow{A'B}=\left( -2;2;8 \right)=-2\left( 1;-1;-4 \right)$ nên phương trình đường thẳng $A'B:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-t \\
& z=5-4t \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-t \\
& z=5-4t \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=\dfrac{5}{4} \\
& x=\dfrac{9}{4} \\
& y=-\dfrac{5}{4} \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( \dfrac{9}{4};-\dfrac{5}{4};0 \right).$