Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 3;-2;0 \right),B\left( -1;2;4 \right).$ Xét hình trụ $\left( T \right)$ nội tiếp mặt cầu đường kính $AB$ và có trục nằm trên đường thẳng $AB.$ Khi thể tích của khối trụ $\left( T \right)$ đạt giá trị lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $\left( T \right)$ đi qua điểm nào dưới đây?
A. $C\left( 0;-1;-2\sqrt{3} \right)$
B. $C\left( 0;-1;2\sqrt{3} \right)$
C. $C\left( 1;0;-2\sqrt{3} \right)$
D. $C\left( -1;0;2\sqrt{3} \right)$
A. $C\left( 0;-1;-2\sqrt{3} \right)$
B. $C\left( 0;-1;2\sqrt{3} \right)$
C. $C\left( 1;0;-2\sqrt{3} \right)$
D. $C\left( -1;0;2\sqrt{3} \right)$
Cách giải:
Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I\left( 1;0;2 \right)$ là trung điểm của $AB,$ bán kính $R=\dfrac{AB}{2}=2\sqrt{3}.$
Giả sử hình trụ $\left( T \right)$ nội tiếp mặt cầu đường kính $AB$ có chiều cao $h=2x,$ bán kính đáy $r.$
Áp dụng định lí Pytago ta có: ${{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{x}^{2}}=12-{{x}^{2}}.$
$\Rightarrow {{V}_{\left( T \right)}}=\pi {{r}^{2}}h=2\pi \left( 12-{{x}^{2}} \right)x=-2\pi {{x}^{3}}+24\pi x$ với $0<x<2\sqrt{3}.$
Ta có $V'=-6\pi {{x}^{2}}+24\pi =0\Leftrightarrow x=\pm 2.$
Ta có BBT:
$\Rightarrow {{V}_{\max }}=V\left( 2 \right)=32\pi .$
Khi đó $\left( P \right)$ chứa đường tròn đáy của hình trụ $\left( T \right)$ có VTPT là $\overrightarrow{AB}=\left( -4;4;4 \right)=4\left( -1;1;1 \right)$ nên phương trình $\left( P \right)$ có dạng $-x+y+z+d=0.$
Khi đó ta có: $d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| d+1 \right|}{\sqrt{3}}=2\Leftrightarrow d=-1\pm 2\sqrt{3}.$
$\Rightarrow $ Có 2 phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ thỏa mãn là:
$\left( P \right):-x+y+z-1+2\sqrt{3}=0$ và $\left( P' \right):-x+y+z-1-2\sqrt{3}=0.$
Vậy $C\left( -1;0;2\sqrt{2} \right)\in \left( P' \right).$
Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I\left( 1;0;2 \right)$ là trung điểm của $AB,$ bán kính $R=\dfrac{AB}{2}=2\sqrt{3}.$
Giả sử hình trụ $\left( T \right)$ nội tiếp mặt cầu đường kính $AB$ có chiều cao $h=2x,$ bán kính đáy $r.$
Áp dụng định lí Pytago ta có: ${{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{x}^{2}}=12-{{x}^{2}}.$
$\Rightarrow {{V}_{\left( T \right)}}=\pi {{r}^{2}}h=2\pi \left( 12-{{x}^{2}} \right)x=-2\pi {{x}^{3}}+24\pi x$ với $0<x<2\sqrt{3}.$
Ta có $V'=-6\pi {{x}^{2}}+24\pi =0\Leftrightarrow x=\pm 2.$
Ta có BBT:
$\Rightarrow {{V}_{\max }}=V\left( 2 \right)=32\pi .$
Khi đó $\left( P \right)$ chứa đường tròn đáy của hình trụ $\left( T \right)$ có VTPT là $\overrightarrow{AB}=\left( -4;4;4 \right)=4\left( -1;1;1 \right)$ nên phương trình $\left( P \right)$ có dạng $-x+y+z+d=0.$
Khi đó ta có: $d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| d+1 \right|}{\sqrt{3}}=2\Leftrightarrow d=-1\pm 2\sqrt{3}.$
$\Rightarrow $ Có 2 phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ thỏa mãn là:
$\left( P \right):-x+y+z-1+2\sqrt{3}=0$ và $\left( P' \right):-x+y+z-1-2\sqrt{3}=0.$
Vậy $C\left( -1;0;2\sqrt{2} \right)\in \left( P' \right).$
Đáp án D.