Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( -3;0;1 \right);B\left( 1;-1;3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z-5=0$. Đường thẳng dđi qua A, song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho khoảng cách từ Bđến đường thẳng dnhỏ nhất. Đường thẳng dcó một vectơ chi phương là $\overrightarrow{u}\left( 1;b;c~ \right)$. Khi đó $\dfrac{b}{c}$ bằng:
A. 1
B. 4
C. 3
D. Vô số
Phương pháp:
$-d//\left( P~ \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{p}}}=0$, rút ctheo b.
- Khoảng cách từ Bđến dđược tính theo công thức: $d\left( B;d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$
- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN.
Cách giải:
Vì $d//\left( P \right)$ nên $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{p}}}$ với $\overrightarrow{{{n}_{p}}}=\left( 1;-2;2 \right)$ là 1 VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$.
Ta có: $d\left( B;d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{BA};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$
$\overrightarrow{BA}=\left( -4;1;-2 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BA};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( c+2b;-2+4c;-4b-1 \right)$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \left[ \overrightarrow{BA};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\sqrt{{{\left( c+2b \right)}^{2}}+{{\left( 4c-2 \right)}^{2}}+{{\left( 4b+1 \right)}^{2}}} \\
& \left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|=\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
\end{aligned}$
$d\left( B;d \right)=\dfrac{\sqrt{{{\left( c+2b \right)}^{2}}+{{\left( 4c-2 \right)}^{2}}+{{\left( 4b+1 \right)}^{2}}}}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
+ Thay $c=\dfrac{2b-1}{2}$ vào ta có:
$d\left( B;d \right)=\dfrac{\sqrt{{{\left( \dfrac{2b-1}{2}+2b \right)}^{2}}+{{\left( 2\left( 2b-1 \right)-2 \right)}^{2}}+{{\left( 4b+1 \right)}^{2}}}}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{\left( \dfrac{2b-1}{2} \right)}^{2}}}}$
$d\left( B;d \right)=\dfrac{\sqrt{164{{b}^{2}}-108b+69}}{8{{b}^{2}}-4b+5}$
Xét hàm số $f\left( b \right)~=\dfrac{164{{b}^{2}}-108b+69}{8{{b}^{2}}-4b+5}$ ta có:
$f'\left( b \right)=\dfrac{\left( 328b-108 \right)\left( 8{{b}^{2}}-4b+5 \right)-\left( 164{{b}^{2}}-108b+69 \right)\left( 16b-4 \right)}{{{\left( 8{{b}^{2}}-4b+5 \right)}^{2}}}$
$f'\left( b \right)=\dfrac{208{{b}^{2}}+536b-264}{{{\left( 8{{b}^{2}}-4b+5 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=\dfrac{11}{26} \\
& b=-3 \\
\end{aligned} \right.$
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy $d{{\left( B;d \right)}_{min}}\Leftrightarrow b\dfrac{11}{26}$, khi đó $c=\dfrac{-1}{13}$
Vậy $\dfrac{b}{c}=\dfrac{11}{26}:\dfrac{-1}{13}=-\dfrac{11}{2}$
A. 1
B. 4
C. 3
D. Vô số
Phương pháp:
$-d//\left( P~ \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{p}}}=0$, rút ctheo b.
- Khoảng cách từ Bđến dđược tính theo công thức: $d\left( B;d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$
- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN.
Cách giải:
Vì $d//\left( P \right)$ nên $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{p}}}$ với $\overrightarrow{{{n}_{p}}}=\left( 1;-2;2 \right)$ là 1 VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$.
Ta có: $d\left( B;d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{BA};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$
$\overrightarrow{BA}=\left( -4;1;-2 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BA};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( c+2b;-2+4c;-4b-1 \right)$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \left[ \overrightarrow{BA};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\sqrt{{{\left( c+2b \right)}^{2}}+{{\left( 4c-2 \right)}^{2}}+{{\left( 4b+1 \right)}^{2}}} \\
& \left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|=\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
\end{aligned}$
$d\left( B;d \right)=\dfrac{\sqrt{{{\left( c+2b \right)}^{2}}+{{\left( 4c-2 \right)}^{2}}+{{\left( 4b+1 \right)}^{2}}}}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
+ Thay $c=\dfrac{2b-1}{2}$ vào ta có:
$d\left( B;d \right)=\dfrac{\sqrt{{{\left( \dfrac{2b-1}{2}+2b \right)}^{2}}+{{\left( 2\left( 2b-1 \right)-2 \right)}^{2}}+{{\left( 4b+1 \right)}^{2}}}}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{\left( \dfrac{2b-1}{2} \right)}^{2}}}}$
$d\left( B;d \right)=\dfrac{\sqrt{164{{b}^{2}}-108b+69}}{8{{b}^{2}}-4b+5}$
Xét hàm số $f\left( b \right)~=\dfrac{164{{b}^{2}}-108b+69}{8{{b}^{2}}-4b+5}$ ta có:
$f'\left( b \right)=\dfrac{\left( 328b-108 \right)\left( 8{{b}^{2}}-4b+5 \right)-\left( 164{{b}^{2}}-108b+69 \right)\left( 16b-4 \right)}{{{\left( 8{{b}^{2}}-4b+5 \right)}^{2}}}$
$f'\left( b \right)=\dfrac{208{{b}^{2}}+536b-264}{{{\left( 8{{b}^{2}}-4b+5 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=\dfrac{11}{26} \\
& b=-3 \\
\end{aligned} \right.$
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy $d{{\left( B;d \right)}_{min}}\Leftrightarrow b\dfrac{11}{26}$, khi đó $c=\dfrac{-1}{13}$
Vậy $\dfrac{b}{c}=\dfrac{11}{26}:\dfrac{-1}{13}=-\dfrac{11}{2}$
Đáp án B.