Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2;-2;4 \right)$...

Xác định điểm $I$ thỏa mãn: $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.
Gọi $I\left( x;y;z \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left( 2-x;-2-y;4-z \right)\Rightarrow 2\overrightarrow{IA}=\left( 4-2x;-4-2y;8-2z \right)$.
$\overrightarrow{IB}=\left( -3-x;3-y;-1-z \right)\Rightarrow 3\overrightarrow{IB}=\left( -9-3x;9-3y;-3-3z \right)$.
$\Rightarrow 2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\left( -5-5x;5-5y;5-5z \right)$.
$2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -5-5x=0 \\
& 5-5y=0 \\
& 5-5z=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=1 \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( -1;1;1 \right)$.
Lại có: $P=2M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}=2{{\overrightarrow{MA}}^{2}}+3{{\overrightarrow{MB}}^{2}}=2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$ $=5M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( 2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB} \right)+2I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}=5M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}.$
Do $2I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}=2{{\left( \sqrt{9+9+9} \right)}^{2}}+3{{\left( \sqrt{4+4+4} \right)}^{2}}=90$ không đổi nên ${{P}_{\min }}\Leftrightarrow I{{M}_{\min }}$ $\Leftrightarrow $ $M$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.
$I{{M}_{mn}}=d\left( I;\left( P \right) \right)=\left| \dfrac{-2-1+2-8}{\sqrt{4+1+4}} \right|=3$.
$\Rightarrow {{P}_{\min }}={{5.3}^{2}}+90=135$.