Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 10;6;-2 \right),B\left( 5;10;-9 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x+2y+z-12=0$. Điểm $M$ di động trên $\left( \alpha \right)$ sao cho $MA,MB$ luôn tạo với $\left( \alpha \right)$ các góc bằng nhau. Biết rằng $M$ luôn thuộc một đường tròn $\left( \omega \right)$ cố định. Hoành độ của tâm đường tròn $\left( \omega \right)$ bằng
A. $10$.
B. $\dfrac{9}{2}$.
C. $2$.
D. $-4$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$ khi đó: $AH=6,BK=3$.
$MA,MB$ luôn tạo với $\left( \alpha \right)$ các góc bằng nhau khi và chỉ khi $\widehat{BMK}=\widehat{AMH}$.
Ta có
$\widehat{BMK}=\widehat{AMH}$ $\Rightarrow \sin \widehat{BMK}=\sin \widehat{AMH}\Leftrightarrow \dfrac{BK}{BM}=\dfrac{AH}{AM}\Leftrightarrow \dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AH}{BK}=2$
Ta có: $M{{A}^{2}}=4M{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=4\left[ {{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-10 \right)}^{2}}+{{\left( z+9 \right)}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}-20x-68y+68z+684=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\dfrac{20}{3}x-\dfrac{68}{3}y+\dfrac{68}{3}z+228=0\text{ }\left( S \right)$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& M\in \left( \alpha \right) \\
& M\in \left( S \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-20x-\dfrac{68}{3}y+\dfrac{68}{3}z+228=0 \\
& 2x+2y+z-12=0 \\
\end{aligned} \right. $ và $ d\left( I,\left( \alpha \right) \right)<R$
nên $M$ nằm trên đường tròn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( \dfrac{10}{3};\dfrac{34}{3};-\dfrac{34}{3} \right)$. Gọi $J$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $mp\left( \alpha \right)$
Khi đó $J\left( \dfrac{10}{3}+2t;\dfrac{34}{3}+2t;-\dfrac{34}{3}+t \right)$ và: $2{{x}_{J}}+2{{y}_{J}}+{{z}_{J}}-12=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{2}{3}$
Vậy $J\left( 2;10;-12 \right)$.
.
A. $10$.
B. $\dfrac{9}{2}$.
C. $2$.
D. $-4$.
$MA,MB$ luôn tạo với $\left( \alpha \right)$ các góc bằng nhau khi và chỉ khi $\widehat{BMK}=\widehat{AMH}$.
Ta có
$\widehat{BMK}=\widehat{AMH}$ $\Rightarrow \sin \widehat{BMK}=\sin \widehat{AMH}\Leftrightarrow \dfrac{BK}{BM}=\dfrac{AH}{AM}\Leftrightarrow \dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AH}{BK}=2$
Ta có: $M{{A}^{2}}=4M{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=4\left[ {{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-10 \right)}^{2}}+{{\left( z+9 \right)}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}-20x-68y+68z+684=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\dfrac{20}{3}x-\dfrac{68}{3}y+\dfrac{68}{3}z+228=0\text{ }\left( S \right)$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& M\in \left( \alpha \right) \\
& M\in \left( S \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-20x-\dfrac{68}{3}y+\dfrac{68}{3}z+228=0 \\
& 2x+2y+z-12=0 \\
\end{aligned} \right. $ và $ d\left( I,\left( \alpha \right) \right)<R$
nên $M$ nằm trên đường tròn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( \dfrac{10}{3};\dfrac{34}{3};-\dfrac{34}{3} \right)$. Gọi $J$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $mp\left( \alpha \right)$
Khi đó $J\left( \dfrac{10}{3}+2t;\dfrac{34}{3}+2t;-\dfrac{34}{3}+t \right)$ và: $2{{x}_{J}}+2{{y}_{J}}+{{z}_{J}}-12=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{2}{3}$
Vậy $J\left( 2;10;-12 \right)$.
.
Đáp án C.