Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;5;2 \right)$ và...

$\overrightarrow{AB}=\left( 4;8;8 \right)\Rightarrow AB:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=5+2t \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB\Rightarrow M\left( 3;9;6 \right)\Rightarrow $ Mặt phẳng trung trực của $AB$ là
$\left( \alpha \right):x-3+2\left( y-9 \right)+2\left( z-6 \right)=0\Leftrightarrow x+2y+2z-33=0$.
$I\in \left( \alpha \right)\Rightarrow a+2b+2c-33=0\Leftrightarrow a=33-2b-2c\Rightarrow a$ là số nguyên lẻ.
Gọi $J=AB\cap \left( Oxy \right)\Rightarrow J\left( 0;3;0 \right)\Rightarrow JA=3 , JB=15$.
Gọi $C$ là tiếp điểm của mặt cầu và $\left( Oxy \right)\Rightarrow C\left( a;b;0 \right)$.
Ta có: $JA.JB=J{{C}^{2}}\Rightarrow J{{C}^{2}}=45\Rightarrow C$ thuộc đường tròn tâm $\left( J, 3\sqrt{5} \right)$.
Xét trong mặt phẳng $\left( Oxy \right)$, phương trình của $\left( J, 3\sqrt{5} \right)$ : ${{a}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}=45\Rightarrow {{a}^{2}}\le 45$.
Do $a,b,c\in \mathbb{Z}$ và $a$ lẻ nên ta có
+) ${{a}^{2}}=1\Rightarrow {{\left( b-3 \right)}^{2}}=44$.
+) ${{a}^{2}}=9\Rightarrow {{\left( b-3 \right)}^{2}}=36$.
+) ${{a}^{2}}=25\Rightarrow {{\left( b-3 \right)}^{2}}=20$.
Vậy có $4$ bộ $\left( a;b;c \right)$ thỏa mãn.