Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( -1;2;4 \right)$, $B\left( -1;-2;2 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):z-1=0$. Điểm $M\left( a;b;c \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$ và diện tích tam giác $MAB$ nhỏ nhất. Tính ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$.
A. $10$.
B. $0$
C. $1$.
D. $-1$.
A. $10$.
B. $0$
C. $1$.
D. $-1$.
Nhận xét: $\Delta MAB$ vuông tại $M$ $\Rightarrow M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ nhận $AB$ làm đường kính.
Gọi $I\left( -1;0;3 \right)$ là trung điểm $AB$ và $\overrightarrow{AB}=-2\left( 0;2;1 \right)$ $\Rightarrow R=\dfrac{AB}{2}=\sqrt{5}$.
Mặt khác, $M\in \left( P \right):z-1=0$ $\Rightarrow M\in \left( C \right)=\left( P \right)\cap \left( S \right)$ với $\left( C \right)$ là đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ có tâm $H$ và bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I;\left( P \right) \right)}=\sqrt{5-4}=1$
Đồng thời $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $\left( P \right)$ $\Rightarrow H\left( -1;0;1 \right)$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua $A,B$ có dạng $\left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=2+2t \\
& z=4+t \\
\end{aligned} \right. $ và $ K=\Delta \cap \left( P \right)\Rightarrow K\left( -1;-4;1 \right)$.
Khi đó: ${{S}_{\Delta AMB}}=\dfrac{1}{2}AB.d\left( M;AB \right)$. Do ${{\left[ {{S}_{\Delta AMB}} \right]}_{\min }}\Leftrightarrow d{{\left( M;AB \right)}_{\min }}\Leftrightarrow M\equiv {{M}_{1}}$ (như hình vẽ)
Vậy $K{{M}_{1}}=HK-r=4-1=3$. Khi đó $\overrightarrow{{{M}_{1}}K}=-3\overrightarrow{{{M}_{1}}H}\Rightarrow {{M}_{1}}\left( -1;-1;1 \right)$.
Gọi $I\left( -1;0;3 \right)$ là trung điểm $AB$ và $\overrightarrow{AB}=-2\left( 0;2;1 \right)$ $\Rightarrow R=\dfrac{AB}{2}=\sqrt{5}$.
Mặt khác, $M\in \left( P \right):z-1=0$ $\Rightarrow M\in \left( C \right)=\left( P \right)\cap \left( S \right)$ với $\left( C \right)$ là đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ có tâm $H$ và bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I;\left( P \right) \right)}=\sqrt{5-4}=1$
Đồng thời $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $\left( P \right)$ $\Rightarrow H\left( -1;0;1 \right)$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua $A,B$ có dạng $\left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=2+2t \\
& z=4+t \\
\end{aligned} \right. $ và $ K=\Delta \cap \left( P \right)\Rightarrow K\left( -1;-4;1 \right)$.
Vậy $K{{M}_{1}}=HK-r=4-1=3$. Khi đó $\overrightarrow{{{M}_{1}}K}=-3\overrightarrow{{{M}_{1}}H}\Rightarrow {{M}_{1}}\left( -1;-1;1 \right)$.
Đáp án D.