Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;2;-1 \right),B\left( 5; 6; 1 \right)$. Xét khối nón đỉnh $A$ và có đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính $AB$. Khối nón có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường tròn đáy của khối nón đi qua điểm nào dưới đây?
A. $N\left( 4; -1; 5 \right)$.
B. $Q\left( -3; -4; 3 \right)$.
C. $P\left( 1; -7; -5 \right)$.
D. $M\left( 6; 3; -1 \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $AB$ có tâm $I\left( 3; 4; 0 \right)$, bán kính $R=3$. Gọi $H$ là tâm đường tròn đáy của hình nón, bán kính đáy là $r$.
$\Rightarrow IH=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{9-{{r}^{2}}}\Rightarrow $ chiều cao của hình nón là $\left[ \begin{aligned}
& h=R+IH=3+\sqrt{9-{{r}^{2}}} \\
& h=R-IH=3-\sqrt{9-{{r}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.$
Nếu $h=3+\sqrt{9-{{r}^{2}}}$ thì thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\left( 3+\sqrt{9-{{r}^{2}}} \right)$
Nếu $h=3-\sqrt{9-{{r}^{2}}}$ thì thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\left( 3-\sqrt{9-{{r}^{2}}} \right)<\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\left( 3+\sqrt{9-{{r}^{2}}} \right)$
Do đó điều kiện cần để thể tích khối nón lớn nhất là $h=3+\sqrt{9-{{r}^{2}}}$
Xét hàm số $f\left( r \right)={{r}^{2}}\left( 3+\sqrt{9-{{r}^{2}}} \right)\Rightarrow {f}'\left( r \right)=6r+2r.\sqrt{9-{{r}^{2}}}-{{r}^{3}}.\dfrac{1}{\sqrt{9-{{r}^{2}}}}=\dfrac{r.\left( 6\sqrt{9-{{r}^{2}}}+18-3{{r}^{2}} \right)}{\sqrt{9-{{r}^{2}}}}$
${f}'\left( r \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& r=0 \\
& 6\sqrt{9-{{r}^{2}}}+18-3{{r}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& r=0 \\
& 2\sqrt{9-{{r}^{2}}}={{r}^{2}}-6\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\left( * \right)\Leftrightarrow 2\sqrt{9-{{r}^{2}}}={{r}^{2}}-6\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{r}^{2}}\ge 6 \\
& 36-4{{r}^{2}}={{r}^{4}}-12{{r}^{2}}+36 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{r}^{2}}\ge 6 \\
& {{r}^{4}}-8{{r}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{r}^{2}}=8\Leftrightarrow r=2\sqrt{2}$
Vậy thể tích khối nón lớn nhất khi $r=2\sqrt{2}$ $\Rightarrow IH=1\Rightarrow d\left( I, \left( P \right) \right)=1$
Vì mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{IB}=\left( 2; 2; 1 \right)\Rightarrow $ mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $2x+2y+z+c=0$
Mà $d\left( I, \left( P \right) \right)=1\Leftrightarrow \dfrac{\left| c+14 \right|}{3}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& c=-11 \\
& c=-17 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left( P \right): 2x+2y+z-11=0 \\
& \left( P \right):2x+2y+z-17=0 \\
\end{aligned} \right.$
Xét $\left( P \right): 2x+2y+z-11=0$ có $d\left( A, \left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2+4-1-11 \right|}{3}=2<h \left( loai \right)$
Xét $\left( P \right): 2x+2y+z-17=0$ có $d\left( A, \left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2+4-1-17 \right|}{3}=4=h \left( tm \right)$
Vậy $\left( P \right): 2x+2y+z-17=0$. Dễ thấy $M\left( 6; 3; -1 \right)\in \left( P \right)$.
A. $N\left( 4; -1; 5 \right)$.
B. $Q\left( -3; -4; 3 \right)$.
C. $P\left( 1; -7; -5 \right)$.
D. $M\left( 6; 3; -1 \right)$.
$\Rightarrow IH=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{9-{{r}^{2}}}\Rightarrow $ chiều cao của hình nón là $\left[ \begin{aligned}
& h=R+IH=3+\sqrt{9-{{r}^{2}}} \\
& h=R-IH=3-\sqrt{9-{{r}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.$
Nếu $h=3+\sqrt{9-{{r}^{2}}}$ thì thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\left( 3+\sqrt{9-{{r}^{2}}} \right)$
Nếu $h=3-\sqrt{9-{{r}^{2}}}$ thì thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\left( 3-\sqrt{9-{{r}^{2}}} \right)<\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\left( 3+\sqrt{9-{{r}^{2}}} \right)$
Do đó điều kiện cần để thể tích khối nón lớn nhất là $h=3+\sqrt{9-{{r}^{2}}}$
Xét hàm số $f\left( r \right)={{r}^{2}}\left( 3+\sqrt{9-{{r}^{2}}} \right)\Rightarrow {f}'\left( r \right)=6r+2r.\sqrt{9-{{r}^{2}}}-{{r}^{3}}.\dfrac{1}{\sqrt{9-{{r}^{2}}}}=\dfrac{r.\left( 6\sqrt{9-{{r}^{2}}}+18-3{{r}^{2}} \right)}{\sqrt{9-{{r}^{2}}}}$
${f}'\left( r \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& r=0 \\
& 6\sqrt{9-{{r}^{2}}}+18-3{{r}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& r=0 \\
& 2\sqrt{9-{{r}^{2}}}={{r}^{2}}-6\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\left( * \right)\Leftrightarrow 2\sqrt{9-{{r}^{2}}}={{r}^{2}}-6\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{r}^{2}}\ge 6 \\
& 36-4{{r}^{2}}={{r}^{4}}-12{{r}^{2}}+36 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{r}^{2}}\ge 6 \\
& {{r}^{4}}-8{{r}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{r}^{2}}=8\Leftrightarrow r=2\sqrt{2}$
Vì mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{IB}=\left( 2; 2; 1 \right)\Rightarrow $ mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $2x+2y+z+c=0$
Mà $d\left( I, \left( P \right) \right)=1\Leftrightarrow \dfrac{\left| c+14 \right|}{3}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& c=-11 \\
& c=-17 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left( P \right): 2x+2y+z-11=0 \\
& \left( P \right):2x+2y+z-17=0 \\
\end{aligned} \right.$
Xét $\left( P \right): 2x+2y+z-11=0$ có $d\left( A, \left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2+4-1-11 \right|}{3}=2<h \left( loai \right)$
Xét $\left( P \right): 2x+2y+z-17=0$ có $d\left( A, \left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2+4-1-17 \right|}{3}=4=h \left( tm \right)$
Vậy $\left( P \right): 2x+2y+z-17=0$. Dễ thấy $M\left( 6; 3; -1 \right)\in \left( P \right)$.
Đáp án D.