Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 1;2;1 \right),B\left( 2;-1;3 \right)$. Tìm điểm $M$ trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho...

Phương pháp:
- Gọi $M\left( a;b;0 \right)\in \left( Oxy \right).$
- Tính $M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}},$ sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng $AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{B}}-{{z}_{A}} \right)}^{2}}}.$
- Đưa ra tổng các hằng đẳng thức và đánh giá.
Cách giải:
Gọi $M\left( a;b;0 \right)\in \left( Oxy \right).$
Khi đó ta có:
$M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}}$
$={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+1-2{{\left( a-2 \right)}^{2}}-2{{\left( b+1 \right)}^{2}}-18$
$=-{{a}^{2}}+6a-{{b}^{2}}-8b-22$
$=-{{\left( a-3 \right)}^{2}}-{{\left( b+4 \right)}^{2}}+3\le 3$
Vậy ${{\left( M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}} \right)}_{\max }}=3\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a-3=0 \\
& b+4=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=-4 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy $M\left( 3;-4;0 \right).$