Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(4;6;2), B(2;-2;0)$ và mặt phẳng $(P):x+y+z=0$. Xét đường thẳng $d$ thay đổi thuộc $(P)$ và đi qua $B$, gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $d$. Biết rằng khi $d$ thay đổi thì $H$ thuộc một đường tròn cố định. Diện tích của hình tròn đó bằng
A. $4\pi $.
B. $\pi $.
C. $6\pi $.
D. $3\pi $.
A. $4\pi $.
B. $\pi $.
C. $6\pi $.
D. $3\pi $.
Cách 1:
Do $\widehat{BHA}={{90}^{\circ }}$ nên $H$ thuộc mặt cầu đường kính $AB$, $H\in (P)$, do đó, $H$ chạy trên đường tròn là giao của mặt cầu đường kính $AB$ và $(P)$. Đường tròn này có tâm là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$ với $I$ là trung điểm của $AB$, bán kính bằng $\dfrac{1}{2}$ độ dài hình chiếu vuông góc của $AB$ trên $(P)$.
Ta có $\overrightarrow{BA}=(2;8;2)$ ; $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=(1;1;1)$, $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{{{n}_{p}}})=\alpha $
Ta có $\left| \cos \alpha \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}{\left| \overrightarrow{BA} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}$
$r=\dfrac{1}{2}\left| \overrightarrow{BA} \right|.\left| \sin \alpha \right|=\dfrac{1}{2}\left| \overrightarrow{BA} \right|.\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }=\sqrt{6}$
$S=\pi {{r}^{2}}=6\pi $
Cách 2: Ta có $A{{B}^{2}}=72$, $d(A,(P))=\dfrac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$, vậy, hình chiếu vuông góc của $AB$ trên $(P)$ có độ dài là $\sqrt{A{{B}^{2}}-{{d}^{2}}}=2\sqrt{6}$, bán kính $r=\sqrt{6}$. $S=\pi {{r}^{2}}=6\pi $
Do $\widehat{BHA}={{90}^{\circ }}$ nên $H$ thuộc mặt cầu đường kính $AB$, $H\in (P)$, do đó, $H$ chạy trên đường tròn là giao của mặt cầu đường kính $AB$ và $(P)$. Đường tròn này có tâm là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$ với $I$ là trung điểm của $AB$, bán kính bằng $\dfrac{1}{2}$ độ dài hình chiếu vuông góc của $AB$ trên $(P)$.
Ta có $\left| \cos \alpha \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}{\left| \overrightarrow{BA} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}$
$r=\dfrac{1}{2}\left| \overrightarrow{BA} \right|.\left| \sin \alpha \right|=\dfrac{1}{2}\left| \overrightarrow{BA} \right|.\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }=\sqrt{6}$
$S=\pi {{r}^{2}}=6\pi $
Cách 2: Ta có $A{{B}^{2}}=72$, $d(A,(P))=\dfrac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$, vậy, hình chiếu vuông góc của $AB$ trên $(P)$ có độ dài là $\sqrt{A{{B}^{2}}-{{d}^{2}}}=2\sqrt{6}$, bán kính $r=\sqrt{6}$. $S=\pi {{r}^{2}}=6\pi $
Đáp án C.